Se X sim N(10,4), calcule:
P(8 <= X <= 10)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média mu=10 e variância sigma^2=4. Queremos calcular a probabilidade
P(8 <= X <= 10)
O que precisamos usar é a padronização da normal para transformar X em uma normal padrão Zsim N(0,1) e então consultar a função de distribuição acumulada Phi.

Passo 2

Padronizamos X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão sigma=2. Assim,
Z = X - musigma = X - 102
Os limites 8 e 10 em X viram, em Z,
8 - 102 = -1 e 10 - 102 = 0
Logo,
P(8 <= X <= 10) = Pl(-1 <= Z <= 0r)

Passo 3

Para Zsim N(0,1) vale
P(-1 <= Z <= 0) = Phi(0) - Phi(-1)
Sabendo que Phi(0)=0,5 e Phi(-1)=1-Phi(1)=1-0,8413=0,1587, temos
P(-1 <= Z <= 0) = 0,5 - 0,1587 = 0,3413

Resposta

A probabilidade pedida é aproximadamente 0,3413.

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