Para X \sim N(-5,9), obtenha
P(X \leq 0)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a probabilidade \,P(X \leq 0) para uma variável aleatória X que segue a distribuição normal X \sim N(-5,9). Informações dadas:
  • média \mu = -5,
  • variância \sigma^{2} = 9.

Passo 2

Vou explicar o que significam essas informações de forma simples. A distribuição normal N(\mu,\sigma^{2}) é uma curva em forma de sino. O parâmetro \mu é o ponto central da curva (a média) e \sigma^{2} é a variância, que mede a dispersão; a raiz quadrada da variância, \sigma, é o desvio-padrão e indica “quanto, em média, os valores se afastam da média”. Aqui:
\sigma = \sqrt{\sigma^{2}} = \sqrt{9} = 3.

Passo 3

Para calcular probabilidades de uma normal qualquer é prático transformar (padronizar) para a normal padrão Z \sim N(0,1). A fórmula de padronização é:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Usamos essa fórmula para reescrever a probabilidade pedida:
P(X \leq 0) = P\!\left( \frac{X-\mu}{\sigma} \leq \frac{0-\mu}{\sigma} \right) = P\!\left( Z \leq \frac{0-(-5)}{3} \right).

Passo 4

Calculemos o valor de z:
\frac{0-(-5)}{3} = \frac{5}{3} = 1,\overline{6} \approx 1,6667.
Portanto:
P(X \leq 0) = P(Z \leq 1,6667).

Passo 5

Agora precisamos do valor da função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi(z)=P(Z\leq z) em z=1,6667. Usando uma tabela da normal padrão (ou uma calculadora estatística), encontramos os valores:
\Phi(1,66)=0,9515,\qquad \Phi(1,67)=0,9525.
Esses dois números eu peguei na tabela padrão da normal. Para z=1,6667 fazemos uma interpolação linear entre 1,66 e 1,67. A diferença entre 1,6667 e 1,66 é 0,0067, que é 0,67 da distância 0,01. A diferença entre \Phi(1,67) e \Phi(1,66) é 0,0010. Então aproximamos:
\Phi(1,6667)\approx 0,9515 + 0,67\cdot 0,0010 = 0,9515 + 0,00067 = 0,95217.
Arredondando razoavelmente (4 casas decimais) obtemos \Phi(1,6667)\approx 0,9522. Observação: usando uma calculadora estatística dá aproximadamente 0,95221, consistente com a interpolação.

Passo 6

Concluímos que a probabilidade pedida é aproximadamente 0,9522. Você pode memorizar o procedimento: padronizar com Z=(X-\mu)/\sigma, achar z, consultar tabela ou usar calculadora, e interpretar o resultado.

Resposta

\,P(X\leq 0)=0,9522

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