Sendo
, calcule
O valor esperado de
.
O valor esperado de
Passo 1
O enunciado pede: calcular o valor esperado de
quando
tem distribuição uniforme no intervalo
.
Informações dadas: , ou seja, a variável aleatória é contínua e toma valores entre
e
com densidade constante nesse intervalo.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos lembrar qual é a função densidade de probabilidade (pdf) de uma distribuição uniforme contínua em
. A pdf é constante no intervalo e vale
e
fora de
. Aqui temos
e
, então explicitamente
e
caso contrário.
Explicação curta: a área total da pdf deve ser ; como a altura é constante no intervalo de comprimento
, a altura é
.
Explicação curta: a área total da pdf deve ser
Passo 3
Definição usada: o valor esperado (esperança) de uma variável aleatória contínua
é
Aqui
é a variável de integração e
é a pdf; a integral calcula a média ponderada dos valores
com pesos dados pela densidade.
Passo 4
Aplicamos a definição ao nosso caso usando a pdf constante em
. A integral sobre todo o eixo reduz-se ao intervalo
:
Expliquei: multiplicamos
pela densidade
e integramos de
a
.
Passo 5
Calculemos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos a constante:
Agora encontramos a primitiva de
, que é
. Então
Substituindo de volta:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: para uma uniforme em
a fórmula geral é
que aqui dá
. Isso corresponde ao centro (mediana/centrogeométrico) do intervalo, como faz sentido por simetria.