Sendo X \sim U[0,4], calcule
O valor esperado de X.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor esperado de X quando X tem distribuição uniforme no intervalo [0,4].
Informações dadas: X\sim U[0,4], ou seja, a variável aleatória é contínua e toma valores entre 0 e 4 com densidade constante nesse intervalo.

Passo 2

Vamos lembrar qual é a função densidade de probabilidade (pdf) de uma distribuição uniforme contínua em [a,b]. A pdf é constante no intervalo e vale
f_X(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le x\le b,
e f_X(x)=0 fora de [a,b]. Aqui temos a=0 e b=4, então explicitamente
f_X(x)=\frac{1}{4}\quad\text{para }0\le x\le 4,
e f_X(x)=0 caso contrário.
Explicação curta: a área total da pdf deve ser 1; como a altura é constante no intervalo de comprimento b-a, a altura é \tfrac{1}{b-a}.

Passo 3

Definição usada: o valor esperado (esperança) de uma variável aleatória contínua X é
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx.
Aqui x é a variável de integração e f_X(x) é a pdf; a integral calcula a média ponderada dos valores x com pesos dados pela densidade.

Passo 4

Aplicamos a definição ao nosso caso usando a pdf constante em [0,4]. A integral sobre todo o eixo reduz-se ao intervalo [0,4]:
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{4} x\cdot \frac{1}{4}\,dx.
Expliquei: multiplicamos x pela densidade \tfrac{1}{4} e integramos de 0 a 4.

Passo 5

Calculemos a integral passo a passo. Primeiro fatoramos a constante:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{4}\int_{0}^{4} x\,dx.
Agora encontramos a primitiva de x, que é \tfrac{x^2}{2}. Então
\int_{0}^{4} x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{4^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{16}{2}=8.
Substituindo de volta:
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{4}\cdot 8=2.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: para uma uniforme em [a,b] a fórmula geral é
\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2},
que aqui dá \tfrac{0+4}{2}=2. Isso corresponde ao centro (mediana/centrogeométrico) do intervalo, como faz sentido por simetria.

Resposta

\;2\;

Exercícios relacionados