Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10 quilômetros.
a) Qual a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros 500 metros? 0,05
b) O custo de reparo na rede depende da distância do local da pane. Se o custo é de R$200 para distâncias até 3 quilômetros, R$ 400 entre 3 e 8 quilômetros e R$ 1.000 para distâncias maiores do que 8 quilômetros, qual é o custo médio do conserto? R 460,00

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e do que pede (sem resolver ainda):
  • A rede elétrica tem comprimento total de 10 quilômetros.
  • Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto da rede, isto é, a localização da pane é igualmente provável ao longo dos 10 km.
  • Pergunta (a): qual a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros 500 metros? O enunciado sugere a resposta 0{,}05, mas vamos justificar e calcular.
  • Pergunta (b): o custo de reparo C depende da distância X (em quilômetros) do ponto da pane ao início da rede, segundo a tabela:
    • C=R\$\,200 para 0\le X\le 3 km;
    • C=R\$\,400 para 3<X\le 8 km;
    • C=R\$\,1\,000 para 8<X\le 10 km.
      Pede-se o custo médio (esperança) do conserto.

Passo 2

Modelo probabilístico e ideia principal (aula rápida e intuitiva):
Como a pane pode ocorrer com igual chance em qualquer ponto dos 10 km, a posição X da pane é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [0,10] (em km). Isso significa que a probabilidade de X cair em um subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo.
Fórmula-prática: para um subintervalo [a,b]\subset[0,10],
\text{Probabilidade}(a\le X\le b)=\frac{b-a}{10}.
Aqui b-a é o comprimento (em km) do subintervalo e 10 é o comprimento total da rede. Essa é a ideia-chave: probabilidade = comprimento favorável dividido pelo comprimento total.

Passo 3

Aplicação à parte (a): converter unidades e usar a fórmula.
Primeiro 500 metros = 0{,}5 km. Então queremos
\text{Probabilidade}(0\le X\le 0{,}5)=\frac{0{,}5-0}{10}=\frac{0{,}5}{10}.
Calcule:
\frac{0{,}5}{10}=0{,}05.
Portanto a probabilidade pedida é 0{,}05. Isso confirma o valor que estava no enunciado.

Passo 4

Conceito de valor esperado (custo médio) — aula curta e prática:
Se uma variável aleatória C pode assumir valores constantes c_1,c_2,\dots,c_n com probabilidades p_1,p_2,\dots,p_n, o custo médio (esperança) é
\mathbb{E}[C]=\sum_{i=1}^{n} c_i\,p_i.
Aqui c_i é cada possível custo e p_i é a probabilidade de ocorrer o evento associado a esse custo. No nosso caso os c_i são 200,400,1000 (reais) e os p_i vêm dos comprimentos dos intervalos divididos por 10 km, pela propriedade da uniforme que vimos.

Passo 5

Calcular as probabilidades de cada faixa de distância (detalhando):
  • Para 0\le X\le 3 km, o comprimento favorável é 3 km, então
p_1=\frac{3}{10}=0{,}3.
  • Para 3<X\le 8 km, o comprimento favorável é 8-3=5 km, então
p_2=\frac{5}{10}=0{,}5.
  • Para 8<X\le 10 km, o comprimento favorável é 10-8=2 km, então
p_3=\frac{2}{10}=0{,}2.
Cheque rápido: p_1+p_2+p_3=0{,}3+0{,}5+0{,}2=1, está consistente.

Passo 6

Aplicar a fórmula do valor esperado com os custos e probabilidades (contas passo a passo):
Os custos são c_1=R\$\,200, c_2=R\$\,400, c_3=R\$\,1\,000. Assim
\mathbb{E}[C]=200\cdot 0{,}3 + 400\cdot 0{,}5 + 1000\cdot 0{,}2.
Calcule cada termo:
200\cdot 0{,}3 = 60,
400\cdot 0{,}5 = 200,
1000\cdot 0{,}2 = 200.
Somando:
\mathbb{E}[C]=60+200+200=460.
Portanto o custo médio do conserto é R\$\,460{,}00.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova (resumindo do jeito que cai na questão):
  • Para esse tipo de problema, pense sempre: posição uniforme → probabilidade proporcional ao comprimento. Converta unidades (m → km) se necessário.
  • Para custo médio com faixas, basta multiplicar cada custo pela fração do comprimento correspondente e somar. Isso evita integração e é rápido na prova.
    Você conseguiu — é só aplicar proporção e a soma ponderada que dá certo.

Resposta

(a) 0{,}05
(b) R\$\,460{,}00

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