Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10 quilômetros.
a) Qual a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros 500 metros? 0,05
b) O custo de reparo na rede depende da distância do local da pane. Se o custo é de R$200 para distâncias até 3 quilômetros, R$ 400 entre 3 e 8 quilômetros e R$ 1.000 para distâncias maiores do que 8 quilômetros, qual é o custo médio do conserto? R 460,00
a) Qual a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros 500 metros? 0,05
b) O custo de reparo na rede depende da distância do local da pane. Se o custo é de R$200 para distâncias até 3 quilômetros, R$ 400 entre 3 e 8 quilômetros e R$ 1.000 para distâncias maiores do que 8 quilômetros, qual é o custo médio do conserto? R 460,00
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e do que pede (sem resolver ainda):
- A rede elétrica tem comprimento total de
quilômetros. - Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto da rede, isto é, a localização da pane é igualmente provável ao longo dos
km. - Pergunta (a): qual a probabilidade de ocorrer pane nos primeiros
metros? O enunciado sugere a resposta , mas vamos justificar e calcular. - Pergunta (b): o custo de reparo
depende da distância (em quilômetros) do ponto da pane ao início da rede, segundo a tabela: -
para km; -
para km; -
para km.
Pede-se o custo médio (esperança) do conserto.
-
Passo 2
Modelo probabilístico e ideia principal (aula rápida e intuitiva):
Como a pane pode ocorrer com igual chance em qualquer ponto dos km, a posição
da pane é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
(em km). Isso significa que a probabilidade de
cair em um subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo.
Fórmula-prática: para um subintervalo ,
Como a pane pode ocorrer com igual chance em qualquer ponto dos
Fórmula-prática: para um subintervalo
Aqui
é o comprimento (em km) do subintervalo e
é o comprimento total da rede. Essa é a ideia-chave: probabilidade = comprimento favorável dividido pelo comprimento total.
Passo 3
Aplicação à parte (a): converter unidades e usar a fórmula.
Primeiro metros =
km. Então queremos
Primeiro
Calcule:
Portanto a probabilidade pedida é
. Isso confirma o valor que estava no enunciado.
Passo 4
Conceito de valor esperado (custo médio) — aula curta e prática:
Se uma variável aleatória pode assumir valores constantes
com probabilidades
, o custo médio (esperança) é
Se uma variável aleatória
Aqui
é cada possível custo e
é a probabilidade de ocorrer o evento associado a esse custo. No nosso caso os
são
(reais) e os
vêm dos comprimentos dos intervalos divididos por
km, pela propriedade da uniforme que vimos.
Passo 5
Calcular as probabilidades de cada faixa de distância (detalhando):
- Para
km, o comprimento favorável é km, então
- Para
km, o comprimento favorável é km, então
- Para
km, o comprimento favorável é km, então
Cheque rápido:
, está consistente.
Passo 6
Aplicar a fórmula do valor esperado com os custos e probabilidades (contas passo a passo):
Os custos são ,
,
. Assim
Os custos são
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto o custo médio do conserto é
.
Passo 7
Interpretação final e dica para prova (resumindo do jeito que cai na questão):
- Para esse tipo de problema, pense sempre: posição uniforme → probabilidade proporcional ao comprimento. Converta unidades (m → km) se necessário.
- Para custo médio com faixas, basta multiplicar cada custo pela fração do comprimento correspondente e somar. Isso evita integração e é rápido na prova.
Você conseguiu — é só aplicar proporção e a soma ponderada que dá certo.
Resposta
(a)
(b)
(b)