Dadas as equações:
x=1+2 t, \quad y=3-t^{2}
a) Elimine o parâmetro t.
b) Identifique a curva.
c) Determine o sentido da trajetória.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x=1+2t,\qquad y=3-t^{2},
e pede três coisas:
  • (a) eliminar o parâmetro t e obter uma equação cartesiana entre x e y;
  • (b) identificar que curva é essa (nome, forma, vértice, eixo, abertura);
  • (c) determinar o sentido da trajetória quando t varia (ou seja, para onde o ponto se move conforme t aumenta).
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões de x e y em função de t são funções polinomiais simples de t.
  • Não há restrição explícita sobre t no enunciado, então t percorre todos os números reais, t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Estratégia para eliminar o parâmetro (mini-aula): uma forma padrão é isolar t em uma das equações e substituir na outra. Aqui a equação de x é linear em t, portanto é fácil isolar t. A ideia é transformar as duas equações paramétricas em uma única equação que relacione x e y sem t.
Isolando t da equação de x:
x=1+2t \quad\Rightarrow\quad 2t=x-1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{x-1}{2}.

Passo 3

Agora substitui-se esse valor de t na expressão de y. Isso elimina o parâmetro e dá a equação cartesiana:
Substituição:
y=3-t^{2}=3-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}.
Desenvolvendo o quadrado (opcional para clareza):
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}=\frac{(x-1)^{2}}{4},
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y=3-\frac{(x-1)^{2}}{4}.

Passo 4

Mini-aula sobre identificação da curva: uma equação do tipo
y=A-(B)(x-h)^{2}
com B>0 é uma parábola com eixo vertical (parábola com variável quadrática em x), vértice em (h,A) e que se abre para baixo se o coeficiente do quadrado for negativo. A forma padrão de uma parábola vertical é
y = k + a(x-h)^{2},
onde (h,k) é o vértice e o sinal de a determina se abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0).
Aplicando isso à equação obtida:
y=3-\frac{1}{4}(x-1)^{2},
podemos ver que é uma parábola vertical com:
  • vértice em (1,3) (porque o termo (x-1) desloca o eixo para x=1 e o termo constante 3 é a ordenada do vértice);
  • coeficiente de (x-1)^{2} igual a -\dfrac{1}{4}, que é negativo, portanto a parábola abre para baixo;
  • eixo de simetria a reta vertical \,x=1.

Passo 5

Mais detalhes didáticos sobre a forma: escrever a equação em termos de y-k deixa claro o vértice:
y-3 = -\frac{1}{4}(x-1)^{2}.
Isso mostra que o máximo de y ocorre em x=1 e vale y=3; para x distante de 1, o termo -\frac{1}{4}(x-1)^{2} é negativo, diminuindo y. O fator \dfrac{1}{4} indica que a parábola é “mais aberta” do que a parábola padrão y=-x^{2} (a largura é maior porque o coeficiente em valor absoluto é menor).

Passo 6

Agora determinar o sentido da trajetória (mini-aula sobre orientação): a orientação de uma curva dada parametricamente por \,x(t),y(t)\, diz como o ponto se desloca quando t aumenta. Uma maneira direta é ver como x e y variam com t; outra forma é calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} via regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Calculemos as derivadas em função de t:
\frac{dx}{dt}=2,\qquad \frac{dy}{dt}=-2t.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{-2t}{2}=-t.

Passo 7

Interpretação do resultado para o sentido:
  • Como \dfrac{dx}{dt}=2>0 para todo t, a coordenada x cresce monotonamente quando t aumenta. Isso significa que, conforme t aumenta, o ponto sempre se desloca para a direita (no sentido crescente de x).
  • Observando \dfrac{dy}{dx}=-t:
    • Para t<0, \dfrac{dy}{dx}>0: a curva sobe (quando x aumenta, y aumenta) — isso corresponde ao ramo esquerdo da parábola aproximando-se do vértice.
    • Em t=0, \dfrac{dy}{dx}=0: temos o ponto de inclinação horizontal, que é o vértice (1,3).
    • Para t>0, \dfrac{dy}{dx}<0: a curva desce (quando x aumenta, y diminui) — isso corresponde ao ramo direito saindo do vértice.
Também é útil descrever o movimento em termos de extremidades:
  • Quando t\to -\infty: (x,y)\to(-\infty,-\infty) (ramo inferior esquerdo).
  • Para t aumentando até 0: o ponto sobe e move-se para a direita, atingindo o vértice (1,3) em t=0.
  • Para t aumentando além de 0: o ponto continua movendo-se para a direita, agora descendo pelo lado direito da parábola, indo para (+\infty,-\infty) quando t\to +\infty.
Resumo intuitivo do sentido: conforme t cresce, a trajetória vai da parte inferior esquerda da parábola, sobe até o vértice (1,3) em t=0, e depois desce pela parte direita — em termos simples: percorre da esquerda para a direita, passando pelo vértice no meio.

Passo 8

Para fixar a ideia, alguns pontos correspondentes a valores simples de t:
\begin{aligned} t=-1 &\Rightarrow (x,y)=(1+2(-1),\,3-(-1)^{2})=( -1,\,2),\\\ t=0 &\Rightarrow (x,y)=(1,\,3)\quad\text{(vértice)},\\\ t=1 &\Rightarrow (x,y)=(3,\,2). \end{aligned}é
Isso mostra concretamente que quando t vai de -1 para 0 para 1 o ponto vai de (-1,2) para (1,3) para (3,2): movimento da esquerda para a direita, subindo até o vértice e depois descendo.

Resposta

(a) \;y=3-\dfrac{(x-1)^{2}}{4}
(b) \;Parábola vertical com vértice em (1,3), eixo de simetria x=1, que abre para baixo (coeficiente de (x-1)^{2} igual a -\tfrac{1}{4}).
(c) \;Para t crescente, o ponto percorre a parábola da esquerda para a direita: vem do ramo inferior esquerdo quando t\to -\infty, sobe até o vértice (1,3) em t=0 e depois desce pelo ramo direito quando t\to +\infty.

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