Dadas as equações:
a) Elimine o parâmetro
.
b) Identifique a curva.
c) Determine o sentido da trajetória.
b) Identifique a curva.
c) Determine o sentido da trajetória.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede três coisas:
- (a) eliminar o parâmetro
e obter uma equação cartesiana entre e ; - (b) identificar que curva é essa (nome, forma, vértice, eixo, abertura);
- (c) determinar o sentido da trajetória quando
varia (ou seja, para onde o ponto se move conforme aumenta).
Informações relevantes fornecidas:
- As expressões de
e em função de são funções polinomiais simples de . - Não há restrição explícita sobre
no enunciado, então percorre todos os números reais, .
Passo 2
Estratégia para eliminar o parâmetro (mini-aula): uma forma padrão é isolar
em uma das equações e substituir na outra. Aqui a equação de
é linear em
, portanto é fácil isolar
. A ideia é transformar as duas equações paramétricas em uma única equação que relacione
e
sem
.
Isolando
da equação de
:
Passo 3
Agora substitui-se esse valor de
na expressão de
. Isso elimina o parâmetro e dá a equação cartesiana:
Substituição:
Desenvolvendo o quadrado (opcional para clareza):
logo
Passo 4
Mini-aula sobre identificação da curva: uma equação do tipo
com
é uma parábola com eixo vertical (parábola com variável quadrática em
), vértice em
e que se abre para baixo se o coeficiente do quadrado for negativo. A forma padrão de uma parábola vertical é
onde
é o vértice e o sinal de
determina se abre para cima (
) ou para baixo (
).
Aplicando isso à equação obtida:
podemos ver que é uma parábola vertical com:
- vértice em
(porque o termo desloca o eixo para e o termo constante é a ordenada do vértice); - coeficiente de
igual a , que é negativo, portanto a parábola abre para baixo; - eixo de simetria a reta vertical
.
Passo 5
Mais detalhes didáticos sobre a forma: escrever a equação em termos de
deixa claro o vértice:
Isso mostra que o máximo de
ocorre em
e vale
; para
distante de
, o termo
é negativo, diminuindo
. O fator
indica que a parábola é “mais aberta” do que a parábola padrão
(a largura é maior porque o coeficiente em valor absoluto é menor).
Passo 6
Agora determinar o sentido da trajetória (mini-aula sobre orientação): a orientação de uma curva dada parametricamente por
diz como o ponto se desloca quando
aumenta. Uma maneira direta é ver como
e
variam com
; outra forma é calcular a derivada
via regra da cadeia:
Calculemos as derivadas em função de
:
Portanto
Passo 7
Interpretação do resultado para o sentido:
- Como
para todo , a coordenada cresce monotonamente quando aumenta. Isso significa que, conforme aumenta, o ponto sempre se desloca para a direita (no sentido crescente de ). - Observando
: - Para
, : a curva sobe (quando aumenta, aumenta) — isso corresponde ao ramo esquerdo da parábola aproximando-se do vértice. - Em
, : temos o ponto de inclinação horizontal, que é o vértice . - Para
, : a curva desce (quando aumenta, diminui) — isso corresponde ao ramo direito saindo do vértice.
- Para
Também é útil descrever o movimento em termos de extremidades:
- Quando
: (ramo inferior esquerdo). - Para
aumentando até : o ponto sobe e move-se para a direita, atingindo o vértice em . - Para
aumentando além de : o ponto continua movendo-se para a direita, agora descendo pelo lado direito da parábola, indo para quando .
Resumo intuitivo do sentido: conforme
cresce, a trajetória vai da parte inferior esquerda da parábola, sobe até o vértice
em
, e depois desce pela parte direita — em termos simples: percorre da esquerda para a direita, passando pelo vértice no meio.
Passo 8
Para fixar a ideia, alguns pontos correspondentes a valores simples de
:
Isso mostra concretamente que quando
vai de
para
para
o ponto vai de
para
para
: movimento da esquerda para a direita, subindo até o vértice e depois descendo.
Resposta
(a)
(b)
Parábola vertical com vértice em
, eixo de simetria
, que abre para baixo (coeficiente de
igual a
).
(c)
Para
crescente, o ponto percorre a parábola da esquerda para a direita: vem do ramo inferior esquerdo quando
, sobe até o vértice
em
e depois desce pelo ramo direito quando
.