Mostre que a função abaixo é uma f.d.p.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função dada é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.). Isso faz parte do estudo de probabilidade e estatística, especificamente sobre como definir e verificar f.d.p.s. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas coisas importantes:
- A função deve ser sempre maior ou igual a zero.
- A integral da função em todo o espaço deve ser igual a um.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função $ f(x, y) = \frac{1}{4\pi} \cos(y) I_{A}(x, y) $ é sempre maior ou igual a zero.
- A constante $ \frac{1}{4\pi} $ é positiva.
- A função $ \cos(y) $ varia entre -1 e 1.
- A função indicadora $ I_{A}(x, y) $ vale 1 quando $ (x, y) $ está no conjunto $ A $ e 0 caso contrário.
No conjunto $ A = (-\pi, \pi] \times \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, o valor de $ y $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $, onde $ \cos(y) $ é sempre positivo. Portanto, $ f(x, y) $ é sempre maior ou igual a zero nesse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a integral de $ f(x, y) $ sobre todo o espaço é igual a um. Isso é necessário para que seja uma f.d.p.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a $ y $:
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
Resposta
Como a função $ f(x, y) $ é sempre não negativa e sua integral sobre todo o espaço é igual a um, concluímos que $ f(x, y) = \frac{1}{4\pi} \cos(y) I_{A}(x, y) $ é uma função de densidade de probabilidade.