X é uma variável aleatória discreta, tal que a função de probabilidade é dada por:

Calcule a média e a variância de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que X é uma variável discreta com
p(x)= k,dfrac2^xx!,&x=1,2,3,4, 0,&caso contrário á
A gente precisa calcular a média e a variância .
Conteúdo: probabilidade discreta, valor esperado e variância.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar a constante usando .
  2. Calcular .
  3. Calcular .
  4. Usar .

Passo 2

Primeiro, normalizar a distribuição, ou seja, achar sumx=1^4 p(x) =sumx=1^4 k2^xx! =1 tal que
2^11!+2^22!+2^33!+2^44! =2 + 2 + tfrac43 + tfrac23 =6
Calcula a soma sem o kcdot 6 =1 Longrightarrow k=16 :
Então

Passo 3

Agora a média E[X] =sumx=1^4 x,p(x) =sumx=1^4 xcdot162^xx! :
tfrac39+tfrac69+tfrac69+tfrac49 =tfrac199
Vamos calcular termo a termo:
x=1: E[X]=199
x=2:
x=3:
x=4:
Somando tudo (denomínio 9):
Logo

Passo 4

Depois, E[X^2] =sumx=1^4 x^2,p(x) =sumx=1^4 x^2cdot162^xx! :
tfrac39+tfrac129+tfrac189+tfrac169 =tfrac499
Termo a termo:
x=1: E[X^2]=499
x=2:
x=3:
x=4:
Somando (denomínio 9):
Então

Passo 5

Por fim, a variância:
Var(X) =E[X^2] - (E[X])^2 =499 - l(199r)^2 =499 - 36181 =441-36181 =8081

Resposta

Média:
Variância:

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