Considere a função
, para todo
.
(a) Determine
e o período de
.
(b) Analise o comportamento de
quando:
(i)
(ii)
(10 pontos)
(c) Dê um esboço detalhado do gráfico de
de um período completo, destacando suas retas assíntotas.
(10 pontos)
(a) Determine
(b) Analise o comportamento de
(i)
(ii)
(10 pontos)
(c) Dê um esboço detalhado do gráfico de
(10 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) o domínio e o período, (b) o comportamento junto às assimptotas verticais próximas a
, e (c) um esboço de um período completo, destacando as retas-assíntotas. Vamos usar:
. Para o domínio, a condição
.
. Para o período, a periodicidade de
de período
.
. Para os limites, o comportamento de
quando
.
. Para o esboço, identificar as assimptotas em cada ramo e a monotonia da função.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Como
Como
precisamos de
. Logo
ou seja
Portanto
Passo 3
Determinar o período de
.
Sabemos que tem período
. Para
queremos o menor
tal que
Sabemos que
isto é,
. Logo
Passo 4
Analisar os limites laterais em torno de
.
(i) Quando , temos
e
(i) Quando
(ii) Quando
, temos
e
Passo 5
Esboço de um período completo (intervalo de comprimento
).
. As assimptotas verticais ocorrem em
e zeros em
.
Resposta
(a)
período
.
(b)
(i) .
(ii) .
(c) O gráfico em cada período é um ramo de
crescente, com assimptotas verticais em
e zero em
.
(b)
(i)
(ii)
(c) O gráfico em cada período