Considere a função f(x)=\operatorname{tg}(2 x), para todo x \in \operatorname{Dom}(f).
(a) Determine \operatorname{Dom}(f) e o período de f.
(b) Analise o comportamento de f(x) quando:
(i) x \rightarrow(\pi / 4)^{-}
(ii) x \rightarrow(-\pi / 4)^{+}
(10 pontos)
(c) Dê um esboço detalhado do gráfico de f de um período completo, destacando suas retas assíntotas.
(10 pontos)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\tan(2x)
e pede (a) o domínio e o período, (b) o comportamento junto às assimptotas verticais próximas a x=\pm \pi/4, e (c) um esboço de um período completo, destacando as retas-assíntotas. Vamos usar:
1. Para o domínio, a condição \cos(2x)\neq0.
2. Para o período, a periodicidade de \tan(u) de período \pi.
3. Para os limites, o comportamento de \tan\theta quando \theta\to\pm\pi/2.
4. Para o esboço, identificar as assimptotas em cada ramo e a monotonia da função.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Como
f(x)=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)},
precisamos de \cos(2x)\neq0. Logo
2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
ou seja
x \neq \frac{\pi}{4}+k\,\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto
\Dom(f)=\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{\pi}{4}+k\,\tfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

Passo 3

Determinar o período de f.
Sabemos que \tan(u) tem período \pi. Para \tan(2x) queremos o menor T>0 tal que
\tan\bigl(2(x+T)\bigr)=\tan(2x),
isto é, 2T=\pi. Logo
T=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Analisar os limites laterais em torno de x=\pm\pi/4.
(i) Quando x\to\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{-}, temos 2x\to(\pi/2)^{-} e
\tan(2x)\to +\infty.
(ii) Quando x\to\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)^{+}, temos 2x\to(-\pi/2)^{+} e
\tan(2x)\to -\infty.

Passo 5

Esboço de um período completo (intervalo de comprimento \pi/2).
1. As assimptotas verticais ocorrem em
x=-\frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad x=+\frac{\pi}{4}.
2. No intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{4},\,\tfrac{\pi}{4}\bigr) a curva de f é contínua e estritamente crescente, pois \tan(u) é crescente em (-\,\pi/2,\pi/2).
3. Em x=0 temos f(0)=\tan(0)=0, ou seja, cruza o eixo em (0,0).
4. Perto de x\to-\pi/4^+, f(x)\to-\infty. Perto de x\to\pi/4^-, f(x)\to+\infty.
5. Em cada ramo seguinte a mesma forma se repete a cada \tfrac{\pi}{2}, com assimptotas em
x = \frac{\pi}{4}+k\,\frac{\pi}{2} \quad\text{e}\quad x = -\frac{\pi}{4}+k\,\frac{\pi}{2},
e zeros em x=k\,\frac{\pi}{2}.

Resposta

(a)
\Dom(f)=\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{\pi}{4}+k\,\tfrac{\pi}{2}\mid k\in\mathbb{Z}\Bigr\},
período T=\tfrac{\pi}{2}.
(b)
(i) \displaystyle\lim_{x\to(\pi/4)^-}f(x)=+\infty.
(ii) \displaystyle\lim_{x\to(-\pi/4)^+}f(x)=-\infty.
(c) O gráfico em cada período \bigl(-\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}\bigr) é um ramo de \tan crescente, com assimptotas verticais em x=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2} e zero em x=k\tfrac{\pi}{2}.

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