x=x0+v0 x t e y=y0+v0 y t-12 g t^2
onde g é a aceleração local da gravidade,
(a) mostre que a trajetória de um projétil é uma parábola. (Dica: lembre que a parábola é dada por uma relação do tipo y(x)=a+b x+c x^2, onde a , b e c são constantes.)
(b) Considere o caso particular em que o projétil é lançado a partir da origem do sistema de coordenadas, em uma região_perfeitamente plana. Mostre que o alcance A do projétil é dado por
A=[v0^2 sen(2 theta0)] / g

Passo 1

Beleza, a questão tá falando do movimento de um projétil com as equações paramétricas
x = x0 + v0x,t e y = y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2
Ela quer dois resultados:
(a) mostrar que a trajetória A = v0^2,sen(2theta0)g é uma parábola do tipo .
(b) no caso de lançamento da origem ( ) em terreno plano, achar o alcance
Conteúdo: cinemática do lançamento oblíquo, eliminação do parâmetro , trigonometria básica e a definição de parábola.

Passo 2

Primeiro, lembrando que as componentes iniciais da velocidade são
A gente vai usar a eq. de v0x = v0costheta0 e v0y = v0sentheta0 para isolar e depois substituir em . Isso é “eliminar o parâmetro”.

Passo 3

Da equação
x = x0 + v0x,t
vem
t = x - x0v0x
Substituindo em
y = y0 + v0y,t - tfrac12,g,t^2,
temos
y(x) = y0 + v0y,x - x0v0x - 12,g, l(x - x0v0xr)^!2

Passo 4

Se você expandir, fica
y(x) = y0 + v0yv0x,(x - x0) - g2,v0x^2,(x - x0)^2,
que é exatamente da forma
y(x) = a + b,x + c,x^2,
ou seja, uma parábola. A parte teórica é só reconhecer que uma função quadrática em é uma parábola.

Passo 5

Agora para (b), a gente zera a posição inicial: y(T) = 0 = v0y,T - tfrac12,g,T^2 ;Longrightarrow; Tl(v0y - tfrac12,g,Tr)=0 . Queremos o alcance T = 2,v0yg = 2,v0sentheta0g , isto é, o valor de quando de novo (além de ). Primeiro achamos o tempo de voo resolvendo
A solução não-trivial é

Passo 6

O alcance A = v0x,T = l(v0costheta0r) !times! 2,v0sentheta0g = 2,v0^2,sentheta0costheta0g é A = v0^2,sen(2theta0)g :
Usando a identidade , a gente chega em

Resposta

(a) Eliminando y(x) = y0 + v0yv0x,(x - x0) - g2,v0x^2,(x - x0)^2, , a trajetória fica
boxedA = v0^2,sen(2theta0)g
que é uma parábola.
(b) No caso , o alcance é

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