Se x^{2}<x+6 entăo
A -3<x<2.
B -2<x<3.
C x<-2 ou x>3.
D x<-3 ou x>2.
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade x^{2}<x+6 e pede que se determine para quais valores de x essa desigualdade é verdadeira. As informações relevantes: a desigualdade é estrita ( <), e temos um polinômio quadrático em x. O objetivo é encontrar o conjunto de soluções (intervalo(s)) de x que satisfazem x^{2}<x+6.

Passo 2

Primeiro passo técnico: passar tudo para um lado da desigualdade para obter uma forma padrão de polinômio menor que zero. Subtraindo x+6 dos dois lados:
x^{2}-x-6<0.
Explicação didática: é mais fácil estudar o sinal de um polinômio quando ele está igualado a zero de um lado, assim identificamos os pontos onde o sinal pode mudar (as raízes).

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio x^{2}-x-6. Procuramos dois números que multiplicados dêem -6 (termo constante) e somados dêem -1 (coeficiente de x). Esses números são -3 e 2, porque (-3)\cdot 2=-6 e (-3)+2=-1. Logo:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
A alternativa, caso a fatoração não seja óbvia, é usar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes da equação x^{2}-x-6=0:
x=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2},
que dá x=3 e x=-2, confirmando os fatores (x-3) e (x+2).

Passo 4

Temos que resolver
(x-3)(x+2)<0.
A regra para produto de dois fatores ser negativo: os fatores devem ter sinais opostos. Isso só ocorre quando x está entre as raízes -2 e 3. Para ver isso de maneira prática, analisamos os intervalos definidos pelas raízes:
  • Para x<-2, escolha x=-3: (x-3)(x+2)=(-6)(-1)=+6>0.
  • Para -2<x<3, escolha x=0: (x-3)(x+2)=(-3)(2)=-6<0.
  • Para x>3, escolha x=4: (x-3)(x+2)=(1)(6)=+6>0.
Portanto o produto é negativo somente quando -2<x<3. Como a desigualdade original é estrita ( <), as raízes -2 e 3 não pertencem à solução.

Passo 5

Conclusão do raciocínio: o conjunto solução da desigualdade é o intervalo
-2<x<3.
Dica para a prova: ao ver uma desigualdade quadrática, sempre leve tudo para um lado, fatorize (ou use Bhaskara) e faça o quadro de sinais ou teste um valor de cada intervalo entre raízes.

Resposta

B -2<x<3

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