Se |x-3|<2 então
A x<5.
B 1<x<5.
C] 1<x.
D x<3.
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade |x-3|<2 e pede para escolher qual das alternativas A–E é verdadeira. Vou listar claramente as alternativas (copiadas do enunciado):
  • A: x<5.
  • B: 1<x<5.
  • C: 1<x.
  • D: x<3.
  • E: N.R.A. (nenhuma das anteriores).
Informação dada: |x-3|<2. Pergunta: qual alternativa descreve corretamente o conjunto de x que satisfazem essa desigualdade?

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e a regra básica. Para qualquer número real y e qualquer a>0 vale a equivalência
|y|<a \iff -a<y<a.
Interpretação intuitiva: |y| é a distância de y até 0; |y|<a significa que essa distância é menor que a, ou seja, y está dentro do intervalo aberto (-a,a).
Exemplo simples para fixar: |t|<3 significa -3<t<3. Note que as extremidades não são incluídas porque a desigualdade é estrita <.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso. Aqui podemos identificar y=x-3 e a=2. Pela equivalência do passo anterior:
|x-3|<2 \iff -2 < x-3 < 2.
Agora resolvemos essa desigualdade composta somando 3 em todas as três partes (soma em desigualdades compostas é válida mantendo a ordem):
-2+3 < x-3+3 < 2+3
o que dá
1 < x < 5.

Passo 4

Interpretação do resultado. A solução da desigualdade é o intervalo aberto (1,5): todos os x estritamente maiores que 1 e estritamente menores que 5. Como a desigualdade original é estrita, os pontos x=1 e x=5 não satisfazem |x-3|<2; verificando: |1-3|=2 e |5-3|=2, que não são menores que 2.

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • A: x<5. Verdadeiro para todas as soluções, mas permite x\le 1 também (por exemplo x=0 satisfaz x<5 mas não satisfaz |x-3|<2). Portanto A é mais fraca que a solução e não equivale ao conjunto correto.
  • B: 1<x<5. Isso coincide exatamente com a solução obtida (1,5).
  • C: 1<x. Permite x maiores que 5 também, então é mais ampla que a solução — não é equivalente.
  • D: x<3. Exclui valores entre 3 e 5 que fazem parte da solução (por exemplo x=4 satisfaz a desigualdade original), então não é correto.
  • E: N.R.A. é falsa porque já encontramos uma alternativa que descreve exatamente a solução.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova: sempre que tiver |x-a|<r com r>0, reescreva como -r<x-a<r e some a para obter a-r<x<a+r. Aqui com a=3 e r=2 resulta em 1<x<5. No caderno, faça esse procedimento passo a passo — é rápido e evita erros com sinais.

Resposta

B

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