Calcule
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada de $ y = e^{m x} \cos n x $. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que nos ajuda a derivar expressões que são multiplicações de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso, temos:
- $ u(x) = e^{m x} $
- $ v(x) = \cos n x $
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra do Produto: se $ y = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ y’ $ é dada por:
Ou seja, a derivada de $ y $ é a derivada de $ u $ vezes $ v $ mais $ u $ vezes a derivada de $ v $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ u(x) = e^{m x} $. A derivada de $ e^{k x} $ em relação a $ x $ é $ k e^{k x} $, onde $ k $ é uma constante. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) = \cos n x $. A derivada de $ \cos k x $ em relação a $ x $ é $ -k \sin k x $. Então:
Passo 6
Vamos substituir $ u’(x) $ e $ v’(x) $ na Regra do Produto que mencionamos no Passo 3:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada de $ y = e^{m x} \cos n x $ é: