Calcule y^prime.
y=e^m x cos n x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de $ y = e^{m x} \cos n x $. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que são produtos de duas outras funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Produto, que nos ajuda a derivar expressões que são multiplicações de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas. No nosso caso, temos:
  • $ u(x) = e^{m x} $
  • $ v(x) = \cos n x $

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra do Produto: se $ y = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ y’ $ é dada por:
y = u(x) cdot v(x)
Ou seja, a derivada de $ y $ é a derivada de $ u $ vezes $ v $ mais $ u $ vezes a derivada de $ v $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ u(x) = e^{m x} $. A derivada de $ e^{k x} $ em relação a $ x $ é $ k e^{k x} $, onde $ k $ é uma constante. Então:
u(x) = e^m x

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) = \cos n x $. A derivada de $ \cos k x $ em relação a $ x $ é $ -k \sin k x $. Então:
v(x) = cos n x

Passo 6

Vamos substituir $ u’(x) $ e $ v’(x) $ na Regra do Produto que mencionamos no Passo 3:
u'(x)

Passo 7

Podemos simplificar a expressão:
y' = m e^m x cos n x - n e^m x sin n x

Resposta

A derivada de $ y = e^{m x} \cos n x $ é:
y = e^m x cos n x

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