Faça a antidiferenciação.
int \frac{3 \operatorname{tg} \theta-4 \cos ^{2} \theta}{\cos \theta} d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular a antiderivada (primitiva) da função
\int \frac{3 \tan \theta - 4 \cos^{2}\theta}{\cos \theta}\, d\theta.
Ou seja, encontrar uma função F(\theta) tal que F'(\theta)=\dfrac{3 \tan \theta - 4 \cos^{2}\theta}{\cos \theta}. Não há outras informações além da expressão a integrar.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica dentro da integral dividindo cada termo por \cos\theta. Faço a divisão termo a termo:
\frac{3 \tan \theta - 4 \cos^{2}\theta}{\cos \theta} =3\frac{\tan\theta}{\cos\theta}-4\frac{\cos^{2}\theta}{\cos\theta}.
Agora uso \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} para escrever tudo em termos de seno e cosseno:
3\frac{\tan\theta}{\cos\theta}=3\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}, \qquad 4\frac{\cos^{2}\theta}{\cos\theta}=4\cos\theta.
Portanto a integral fica
\int\left(3\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}-4\cos\theta\right)\,d\theta.

Passo 3

Agora eu observo cada termo separadamente para achar antiderivadas conhecidas.
  • Para o primeiro termo \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}: lembro da derivada da função \operatorname{sec}\theta. A definição é \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}. Diferenciando:
\frac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{\cos\theta}\right) =\frac{0\cdot\cos\theta - 1\cdot(-\sin\theta)}{\cos^2\theta} =\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}.
Logo \dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta} é exatamente \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta.
  • Para o segundo termo \cos\theta: lembro que \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta. Portanto \cos\theta é a derivada de \sin\theta.
Essas observações mostram que os termos da integral são derivadas de funções simples.

Passo 4

Integro termo a termo usando o que identifiquei:
Para o primeiro termo,
\int 3\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta =3\int \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta =3\operatorname{sec}\theta + C_1,
pois \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{sec}\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}.
Para o segundo termo,
\int -4\cos\theta\,d\theta =-4\int \cos\theta\,d\theta =-4\sin\theta + C_2,
pois \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta.

Passo 5

Somando as partes e reunindo constantes (uma única constante de integração C):
\int \frac{3 \tan \theta - 4 \cos^{2}\theta}{\cos \theta}\, d\theta =3\operatorname{sec}\theta -4\sin\theta + C.

Resposta

3\operatorname{sec}\theta-4\sin\theta+C

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