Faça a antidiferenciação.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular a antiderivada (primitiva) da função
Ou seja, encontrar uma função
tal que
. Não há outras informações além da expressão a integrar.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica dentro da integral dividindo cada termo por
. Faço a divisão termo a termo:
Agora uso
para escrever tudo em termos de seno e cosseno:
Portanto a integral fica
Passo 3
Agora eu observo cada termo separadamente para achar antiderivadas conhecidas.
- Para o primeiro termo
: lembro da derivada da função . A definição é . Diferenciando:
Logo
é exatamente
.
- Para o segundo termo
: lembro que . Portanto é a derivada de .
Essas observações mostram que os termos da integral são derivadas de funções simples.
Passo 4
Integro termo a termo usando o que identifiquei:
Para o primeiro termo,
pois
.
Para o segundo termo,
pois
.
Passo 5
Somando as partes e reunindo constantes (uma única constante de integração
):