Se
e
são números reais tais que
, qual o valor máximo do produto
?
Passo 1
O enunciado: “Se
e
são números reais tais que
, qual o valor máximo do produto
?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A condição que relaciona
e é .\n -
e são números reais (ou seja, não há restrição extra como serem apenas positivos).\n - O que se pede: encontrar o valor máximo do produto
sujeito a essa condição.
Passo 2
Escolha de método (explicação curta e motivo): vou eliminar uma variável usando a relação linear e transformar o problema num problema de otimização de uma função de uma variável. Depois vou usar completar o quadrado (ou, equivalentemente, a fórmula do vértice da parábola) para achar o máximo. Isso é básico, não usa cálculo e é rápido em prova. Observação: não uso AM–GM porque AM–GM exige que as variáveis sejam não negativas para aplicar diretamente; aqui
e
podem ser quaisquer reais.
Passo 3
Isolar uma variável na restrição. Da igualdade
temos, isolando
,
Escrever o produto
como função de uma única variável
. Substituindo
em
,
Aqui
é a função que dá o produto para cada
. Como
é real, o domínio é
.
Passo 4
Identificar o tipo de função e o que isso implica. A função
é um polinômio quadrático com coeficiente de
negativo (
), portanto é uma parábola aberta para baixo e tem um único valor máximo, que ocorre no vértice da parábola.
Passo 5
Completar o quadrado passo a passo para encontrar o vértice (máximo). Começo por fatorar o coeficiente de
:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Lembro que
porque
. Substituindo,
Distribuo o
:
Passo 6
Interpretar a forma obtida para achar o máximo. Na expressão
o termo
é sempre menor ou igual a
para todo
real, porque
e multiplicando por
fica
. Portanto
é sempre menor ou igual a
, e atinge
exatamente quando
, isto é, quando
.
Passo 7
Encontrar o correspondente
e o produto. Se
, da relação
temos
Então o produto é
Passo 8
Resumo prático para prova (dica amiga): sempre que tiver um produto e uma relação linear, substitua para ficar com uma variável só e transforme em quadrática; completar o quadrado é a forma mais direta para achar máximo/minimo sem cálculo. Se preferir cálculo, derivando
e igualando a zero também dá
.