Se x e y são números reais tais que 2 x+y=8, qual o valor máximo do produto x y ?

Passo 1

O enunciado: “Se x e y são números reais tais que 2x+y=8, qual o valor máximo do produto xy?”\n
Informações dadas:
  • A condição que relaciona x e y é 2x+y=8.\n
  • x e y são números reais (ou seja, não há restrição extra como serem apenas positivos).\n
  • O que se pede: encontrar o valor máximo do produto xy sujeito a essa condição.

Passo 2

Escolha de método (explicação curta e motivo): vou eliminar uma variável usando a relação linear e transformar o problema num problema de otimização de uma função de uma variável. Depois vou usar completar o quadrado (ou, equivalentemente, a fórmula do vértice da parábola) para achar o máximo. Isso é básico, não usa cálculo e é rápido em prova. Observação: não uso AM–GM porque AM–GM exige que as variáveis sejam não negativas para aplicar diretamente; aqui x e y podem ser quaisquer reais.

Passo 3

Isolar uma variável na restrição. Da igualdade 2x+y=8 temos, isolando y,
y = 8 - 2x.
Escrever o produto xy como função de uma única variável x. Substituindo y em xy,
P(x)=x y = x(8-2x)=8x-2x^2.
Aqui P(x) é a função que dá o produto para cada x. Como x é real, o domínio é x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Identificar o tipo de função e o que isso implica. A função P(x)= -2x^2 + 8x é um polinômio quadrático com coeficiente de x^2 negativo ( -2), portanto é uma parábola aberta para baixo e tem um único valor máximo, que ocorre no vértice da parábola.

Passo 5

Completar o quadrado passo a passo para encontrar o vértice (máximo). Começo por fatorar o coeficiente de x^2:
P(x) = -2\bigl(x^2 - 4x\bigr).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese. Lembro que x^2-4x = (x-2)^2 - 4 porque (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4. Substituindo,
P(x) = -2\bigl((x-2)^2 - 4\bigr).
Distribuo o -2:
P(x) = -2(x-2)^2 + 8.

Passo 6

Interpretar a forma obtida para achar o máximo. Na expressão
P(x) = -2(x-2)^2 + 8,
o termo -2(x-2)^2 é sempre menor ou igual a 0 para todo x real, porque (x-2)^2\ge 0 e multiplicando por -2 fica \le 0. Portanto P(x) é sempre menor ou igual a 8, e atinge 8 exatamente quando (x-2)^2=0, isto é, quando x=2.

Passo 7

Encontrar o correspondente y e o produto. Se x=2, da relação y=8-2x temos
y = 8 - 2\cdot 2 = 4.
Então o produto é
xy = 2\cdot 4 = 8.

Passo 8

Resumo prático para prova (dica amiga): sempre que tiver um produto e uma relação linear, substitua para ficar com uma variável só e transforme em quadrática; completar o quadrado é a forma mais direta para achar máximo/minimo sem cálculo. Se preferir cálculo, derivando P'(x)=8-4x e igualando a zero também dá x=2.

Resposta

8

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