Os números
e
são as raízes da equação
. Qual o valor de
?
Passo 1
O enunciado diz que os números
e
são as raízes da equação
O que se pede é o valor de
.
Informações relevantes dadas:
logo os coeficientes são
Passo 2
Vamos usar uma fórmula simples e muito útil para raízes de uma quadrática (fácil de lembrar e provar): se uma equação quadrática é
e suas raízes são
e
, então valeem as relações (fórmulas de Viète)
Explicação curta de onde vem isso: se escrevemos a quadrática como
e expandimos, obtemos
. Comparando coeficientes com
dá as igualdades acima.
Passo 3
Aplicando as fórmulas de Viète às nossas raízes
e
(aqui
):
Vou chamar
e
para facilitar: então
e
.
Passo 4
Agora precisamos de
. Use a identidade algébrica padrão que liga soma de quadrados com soma e produto:
Reorganizando essa igualdade para isolar
obtemos
Essa identidade é apenas expandir o quadrado da soma e subtrair o termo
.
Passo 5
Substituímos
e
na identidade:
Agora plugamos os valores encontrados em
e
:
Passo 6
Calculamos passo a passo:
Então
Fatorando, podemos escrever o resultado como