Os números m e n são as raízes da equação x^{2}-2 r x+r^{2}-1=0. Qual o valor de m^{2}+n^{2} ?

Passo 1

O enunciado diz que os números m e n são as raízes da equação
x^{2}-2 r x+r^{2}-1=0.
O que se pede é o valor de m^{2}+n^{2}.
Informações relevantes dadas:
\text{o polinômio é }x^{2}-2 r x+r^{2}-1,ôé
logo os coeficientes são \;a=1,\; b=-2r,\; c=r^{2}-1.

Passo 2

Vamos usar uma fórmula simples e muito útil para raízes de uma quadrática (fácil de lembrar e provar): se uma equação quadrática é
a x^{2}+b x+c=0
e suas raízes são \alpha e \beta, então valeem as relações (fórmulas de Viète)
\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}.
Explicação curta de onde vem isso: se escrevemos a quadrática como a(x-\alpha)(x-\beta) e expandimos, obtemos a x^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta. Comparando coeficientes com a x^{2}+b x+c dá as igualdades acima.

Passo 3

Aplicando as fórmulas de Viète às nossas raízes m e n (aqui a=1,\;b=-2r,\;c=r^{2}-1):
m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-2r}{1}=2r,
mn=\frac{c}{a}=\frac{r^{2}-1}{1}=r^{2}-1.
Vou chamar S=m+n e P=mn para facilitar: então S=2r e P=r^{2}-1.

Passo 4

Agora precisamos de m^{2}+n^{2}. Use a identidade algébrica padrão que liga soma de quadrados com soma e produto:
(m+n)^{2}=m^{2}+2mn+n^{2}.
Reorganizando essa igualdade para isolar m^{2}+n^{2} obtemos
m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn.
Essa identidade é apenas expandir o quadrado da soma e subtrair o termo 2mn.

Passo 5

Substituímos S e P na identidade:
m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=S^{2}-2P.
Agora plugamos os valores encontrados em \;S=2r e \;P=r^{2}-1:
m^{2}+n^{2}=(2r)^{2}-2(r^{2}-1).

Passo 6

Calculamos passo a passo:
(2r)^{2}=4r^{2},
2(r^{2}-1)=2r^{2}-2.
Então
m^{2}+n^{2}=4r^{2}-(2r^{2}-2)=4r^{2}-2r^{2}+2=2r^{2}+2.
Fatorando, podemos escrever o resultado como
m^{2}+n^{2}=2\bigl(r^{2}+1\bigr).

Resposta

2\bigl(r^{2}+1\bigr)

Exercícios relacionados