Em cada caso, parametrize a curva de interseção entre as superfícies
e
.
.
Passo 1
O que o enunciado pede: parametrizar a curva de interseção entre as duas superfícies dadas.
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
A curva procurada é o conjunto de pontos
que pertencem simultaneamente a
e a
. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entendendo geometricamente e simplificando a equação de
. Vou completar o quadrado em
para ver que curva é no plano
:
Explicação didática: essa última equação é a equação de um círculo no plano
de raio
e centro
. Como não aparece
nessa equação, isso descreve um cilindro circular vertical (ou seja, todas as retas paralelas ao eixo
passando pelo círculo no plano
). Portanto a interseção com
será a curva obtida cortando a semi-esfera superior por esse cilindro.
Como parametrizar um círculo de raio
e centro
? A parámetrização padrão é tomar um parâmetro
(ângulo) e escrever
Breve motivo: para um círculo centrado em
com raio
, podemos deslocar a parámetrização padrão
acrescentando
na coordenada
.
Passo 3
Agora imposto que os pontos parametrizados no cilindro também satisfaçam
, isto é, obtenho
em função de
. Substituo
e
em
:
Usando
isso vira
Agora uso
:
. Substituindo o que acabamos de achar:
Observação didática: aqui tomamos a raiz quadrada positiva porque
dá
como
, isto é, estamos na semi-esfera superior onde
.
Passo 4
Reunindo tudo, uma parametrização da curva de interseção é
Verificação rápida (didática e útil na prova): escolher valores especiais de
. Por exemplo
dá
e
, que é o ponto
na semi-esfera superior; em
obtemos
e
, ponto na “borda” da semi-esfera. Esses cheques ajudam a confirmar que a parametrização faz sentido.
Passo 5
Alternativa (opcional) usando coordenadas polares no plano
— é bom conhecer outra visão: escrevendo
, a equação do cilindro vira
, que para
dá
. Assim uma parametrização alternativa é
Explicação: aqui
. Pode-se eliminar o valor absoluto restringindo o intervalo de
adequadamente, mas a forma com
deixa claro que
.