Em cada caso, parametrize a curva de interseção entre as superfícies S_{1} e S_{2}.
S_{1}: z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \quad S_{2}: x^{2}+y^{2}=2 y.

Passo 1

O que o enunciado pede: parametrizar a curva de interseção entre as duas superfícies dadas.
Informações dadas no enunciado:
S_{1}:\\ z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}
S_{2}:\\ x^{2}+y^{2}=2y
A curva procurada é o conjunto de pontos (x,y,z) que pertencem simultaneamente a S_{1} e a S_{2}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entendendo geometricamente e simplificando a equação de S_{2}. Vou completar o quadrado em S_{2} para ver que curva é no plano xy:
x^{2}+y^{2}=2y \Longrightarrow x^{2}+y^{2}-2y=0 \Longrightarrow x^{2}+(y-1)^{2}=1.
Explicação didática: essa última equação é a equação de um círculo no plano xy de raio 1 e centro (0,1). Como não aparece z nessa equação, isso descreve um cilindro circular vertical (ou seja, todas as retas paralelas ao eixo z passando pelo círculo no plano xy). Portanto a interseção com S_{1} será a curva obtida cortando a semi-esfera superior por esse cilindro.
Como parametrizar um círculo de raio 1 e centro (0,1)? A parámetrização padrão é tomar um parâmetro t (ângulo) e escrever
x=\cos t,\qquad y=1+\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Breve motivo: para um círculo centrado em (0,1) com raio 1, podemos deslocar a parámetrização padrão (\cos t,\sin t) acrescentando 1 na coordenada y.

Passo 3

Agora imposto que os pontos parametrizados no cilindro também satisfaçam S_{1}, isto é, obtenho z em função de t. Substituo x=\cos t e y=1+\sin t em x^{2}+y^{2}:
x^{2}+y^{2}=\cos^{2}t+(1+\sin t)^{2}=\cos^{2}t+1+2\sin t+\sin^{2}t.
Usando \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 isso vira
x^{2}+y^{2}=1+1+2\sin t=2+2\sin t=2(1+\sin t).
Agora uso S_{1}: z=\sqrt{4-(x^{2}+y^{2})}. Substituindo o que acabamos de achar:
z=\sqrt{4-2(1+\sin t)}=\sqrt{2(1-\sin t)}.
Observação didática: aqui tomamos a raiz quadrada positiva porque S_{1} z como \sqrt{\cdot}, isto é, estamos na semi-esfera superior onde z\ge 0.

Passo 4

Reunindo tudo, uma parametrização da curva de interseção é
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=1+\sin t,\qquad z(t)=\sqrt{2(1-\sin t)}, \qquad t\in[0,2\pi).
Verificação rápida (didática e útil na prova): escolher valores especiais de t. Por exemplo t=\tfrac{3\pi}{2} (x,y)=(0,0) e z=\sqrt{2(1-(-1))}=\sqrt{4}=2, que é o ponto (0,0,2) na semi-esfera superior; em t=\tfrac{\pi}{2} obtemos (x,y)=(0,2) e z=0, ponto na “borda” da semi-esfera. Esses cheques ajudam a confirmar que a parametrização faz sentido.

Passo 5

Alternativa (opcional) usando coordenadas polares no plano xy — é bom conhecer outra visão: escrevendo x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, a equação do cilindro vira r^{2}=2r\sin\theta, que para r\neq0 r=2\sin\theta. Assim uma parametrização alternativa é
x(\theta)=2\sin\theta\cos\theta,\qquad y(\theta)=2\sin^{2}\theta,\qquad z(\theta)=2|\cos\theta|, \qquad \theta\in[0,\pi].
Explicação: aqui z= \sqrt{4-r^{2}}=2\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=2|\cos\theta|. Pode-se eliminar o valor absoluto restringindo o intervalo de \theta adequadamente, mas a forma com |\cos\theta| deixa claro que z\ge0.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\big(\cos t,\;1+\sin t,\;\sqrt{2(1-\sin t)}\big),\\ t\in[0,2\pi)
\displaystyle \text{(alternativa)}\quad \mathbf{r}(\theta)=\big(2\sin\theta\cos\theta,\;2\sin^{2}\theta,\;2|\cos\theta|\big),\\ \theta\in[0,\pi]

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