(Unesp) Dada a equação x^{2}+x-\sqrt{2}=0, calcule a soma dos inversos de suas raízes.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática x^{2}+x-\sqrt{2}=0 e pede a soma dos inversos das suas raízes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da quadrática: a=1, b=1, c=-\sqrt{2}.
- Queremos calcular \dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{2}}, onde r_{1} e r_{2} são as raízes da equação.
- As raízes existem (é uma quadrática) e são diferentes de zero porque c=-\sqrt{2}\neq0 (o produto das raízes não é zero), então os inversos estão bem definidos.

Passo 2

Vamos usar uma relação clássica entre coeficientes e raízes de uma quadrática (uma versão das fórmulas de Viète). Se uma equação quadrática geral é ax^{2}+bx+c=0 e tem raízes r_{1} e r_{2}, então, ao fatorar:
a(x-r_{1})(x-r_{2})=ax^{2}-a(r_{1}+r_{2})x+a\,r_{1}r_{2},
comparando coeficientes com ax^{2}+bx+c obtemos as igualdades
r_{1}+r_{2} = -\dfrac{b}{a}, \qquad r_{1}r_{2} = \dfrac{c}{a}.
Explicando: r_{1}+r_{2} é a soma das raízes e r_{1}r_{2} o produto; a,b,c são os coeficientes da equação.

Passo 3

A soma dos inversos que queremos pode ser manipulada algebricamente:
\dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{2}} = \dfrac{r_{1}+r_{2}}{r_{1}r_{2}}.
Aqui eu apenas coloquei em comum denominador r_{1}r_{2} e somei os numeradores.

Passo 4

Agora substituímos pelas expressões de Viète (do Passo 2). Usando r_{1}+r_{2}=-\dfrac{b}{a} e r_{1}r_{2}=\dfrac{c}{a}, temos
\dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{2}} = \dfrac{-\dfrac{b}{a}}{\dfrac{c}{a}} = -\dfrac{b}{c}.
Observação: as razões \dfrac{1}{a} cancelam, por isso a soma dos inversos fica simplesmente -b/c. Essa é uma fórmula rápida muito útil em provas.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso com a=1, b=1, c=-\sqrt{2}:
\dfrac{1}{r_{1}}+\dfrac{1}{r_{2}} = -\dfrac{b}{c} = -\dfrac{1}{-\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Se preferir racionalizar o denominador:
\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

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