(Unesp) Dada a equação
, calcule a soma dos inversos de suas raízes.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede a soma dos inversos das suas raízes.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da quadrática: ,
,
.
- Queremos calcular , onde
e
são as raízes da equação.
- As raízes existem (é uma quadrática) e são diferentes de zero porque (o produto das raízes não é zero), então os inversos estão bem definidos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da quadrática:
- Queremos calcular
- As raízes existem (é uma quadrática) e são diferentes de zero porque
Passo 2
Vamos usar uma relação clássica entre coeficientes e raízes de uma quadrática (uma versão das fórmulas de Viète). Se uma equação quadrática geral é
e tem raízes
e
, então, ao fatorar:
comparando coeficientes com
obtemos as igualdades
Explicando:
é a soma das raízes e
o produto;
são os coeficientes da equação.
Passo 3
A soma dos inversos que queremos pode ser manipulada algebricamente:
Aqui eu apenas coloquei em comum denominador
e somei os numeradores.
Passo 4
Agora substituímos pelas expressões de Viète (do Passo 2). Usando
e
, temos
Observação: as razões
cancelam, por isso a soma dos inversos fica simplesmente
. Essa é uma fórmula rápida muito útil em provas.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
,
:
Se preferir racionalizar o denominador: