Um processo de esterilizaçāo usado frequentemente por indústrias que produzem vegetais enlatados consiste em tratá-los com uma grande quantidade de água fervendo. Um novo método, denominado Processo de Esterilização por Vapor (PEV), espera-se que tire menos vitaminas e minerais dos vegetais, na medida em que é mais uma ducha de vapor do que um banho de água. Dez grupos de feijão de diferentes origens são usados para comparar o PEV versus o processo padrão. Uma metade de cada grupo de feijão é esterilizada com o processo padrão e a outra metade com o PEV. As seguintes medidas do conteúdo de vitaminas por libra de feijão enlatado obtiveram-se:
Grupo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PEV
35
49
65
33
61
55
49
36
58
65
Padrāo
33
41
55
41
62
55
40
34
59
56
Os dados fornecem suficiente evidência de que o PEV tira menos vitaminas dos vegetais enlatados do que o processo padrão? Use o nivel de significância máximo de 0,05 . Quais as hipóteses pertinentes sobre as populações?
Grupo | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
PEV | 35 | 49 | 65 | 33 | 61 | 55 | 49 | 36 | 58 | 65 |
Padrāo | 33 | 41 | 55 | 41 | 62 | 55 | 40 | 34 | 59 | 56 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar dois métodos de esterilização de vegetais enlatados: o Processo de Esterilização por Vapor (PEV) e o processo padrão. A ideia é ver se o PEV realmente retira menos vitaminas dos feijões do que o método tradicional. Para resolver isso, vamos precisar usar estatística inferencial, especificamente um teste de hipóteses para comparar duas médias relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 10 grupos de feijões e para cada grupo, medimos o conteúdo de vitaminas usando ambos os métodos: PEV e Padrão. Isso forma pares de dados relacionados, já que cada grupo é testado com os dois métodos.
Passo 3
Agora, vamos formular as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula (
) geralmente representa a ideia de “não há diferença”, enquanto a hipótese alternativa (
) é o que queremos provar.
-
Hipótese nula (
): O PEV não retira menos vitaminas que o processo padrão. Matemáticamente, a média das vitaminas com PEV é igual à média com o padrão. -
Hipótese alternativa (
): O PEV retira menos vitaminas que o processo padrão. Assim, a média das vitaminas com PEV é menor que a média com o padrão.
Passo 4
Como os dados são pareados (mesmo grupo testado nos dois métodos), vamos usar o teste t de Student para amostras pareadas. Esse teste compara as médias de duas amostras relacionadas para ver se há uma diferença significativa entre elas.
Passo 5
Vamos calcular a diferença nas vitaminas para cada grupo: Subtraímos o valor do processo Padrão do valor do PEV.
Por exemplo, para o Grupo 1:
Fazemos isso para todos os 10 grupos e obtemos um conjunto de diferenças.
Passo 6
Com essas diferenças, calculamos a média das diferenças (
) e o desvio padrão das diferenças (
). Esses valores são necessários para o teste t.
Passo 7
Usamos a fórmula do teste t para amostras pareadas:
Onde:
-
é a média das diferenças -
é o desvio padrão das diferenças -
é o número de pares (neste caso, 10)
Passo 8
Com o valor calculado de t e os graus de liberdade (
), consultamos a tabela t de Student para encontrar o valor crítico correspondente ao nível de significância de 0,05 em um teste unilateral.
Passo 9
Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico da tabela:
- Se
calculado < crítico, rejeitamos a hipótese nula. - Se
calculado ≥ crítico, não rejeitamos a hipótese nula.
Passo 10
Após realizar os cálculos, verificamos que o valor t calculado é menor que o valor crítico da tabela. Isso significa que há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Sim, há evidências suficientes ao nível de significância de 0,05 para concluir que o Processo de Esterilização por Vapor (PEV) retira menos vitaminas dos vegetais enlatados do que o processo padrão.