Um processo de esterilizaçāo usado frequentemente por indústrias que produzem vegetais enlatados consiste em tratá-los com uma grande quantidade de água fervendo. Um novo método, denominado Processo de Esterilização por Vapor (PEV), espera-se que tire menos vitaminas e minerais dos vegetais, na medida em que é mais uma ducha de vapor do que um banho de água. Dez grupos de feijão de diferentes origens são usados para comparar o PEV versus o processo padrão. Uma metade de cada grupo de feijão é esterilizada com o processo padrão e a outra metade com o PEV. As seguintes medidas do conteúdo de vitaminas por libra de feijão enlatado obtiveram-se:
Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PEV 35 49 65 33 61 55 49 36 58 65
Padrāo 33 41 55 41 62 55 40 34 59 56
Os dados fornecem suficiente evidência de que o PEV tira menos vitaminas dos vegetais enlatados do que o processo padrão? Use o nivel de significância máximo de 0,05 . Quais as hipóteses pertinentes sobre as populações?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre comparar dois métodos de esterilização de vegetais enlatados: o Processo de Esterilização por Vapor (PEV) e o processo padrão. A ideia é ver se o PEV realmente retira menos vitaminas dos feijões do que o método tradicional. Para resolver isso, vamos precisar usar estatística inferencial, especificamente um teste de hipóteses para comparar duas médias relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos. Temos 10 grupos de feijões e para cada grupo, medimos o conteúdo de vitaminas usando ambos os métodos: PEV e Padrão. Isso forma pares de dados relacionados, já que cada grupo é testado com os dois métodos.

Passo 3

Agora, vamos formular as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula ( H0) geralmente representa a ideia de “não há diferença”, enquanto a hipótese alternativa ( Ha) é o que queremos provar.
  • Hipótese nula ( H0): O PEV não retira menos vitaminas que o processo padrão. Matemáticamente, a média das vitaminas com PEV é igual à média com o padrão.
    H0: muPEV = muPadrão ã
  • Hipótese alternativa ( Ha): O PEV retira menos vitaminas que o processo padrão. Assim, a média das vitaminas com PEV é menor que a média com o padrão.
    Ha: muPEV < muPadrão ã

Passo 4

Como os dados são pareados (mesmo grupo testado nos dois métodos), vamos usar o teste t de Student para amostras pareadas. Esse teste compara as médias de duas amostras relacionadas para ver se há uma diferença significativa entre elas.

Passo 5

Vamos calcular a diferença nas vitaminas para cada grupo: Subtraímos o valor do processo Padrão do valor do PEV.
Por exemplo, para o Grupo 1:
d1 = 35 - 33 = 2
Fazemos isso para todos os 10 grupos e obtemos um conjunto de diferenças.

Passo 6

Com essas diferenças, calculamos a média das diferenças ( bard) e o desvio padrão das diferenças ( sd). Esses valores são necessários para o teste t.

Passo 7

Usamos a fórmula do teste t para amostras pareadas:
t = bardsd / raizn
Onde:
  • bard é a média das diferenças
  • sd é o desvio padrão das diferenças
  • n é o número de pares (neste caso, 10)

Passo 8

Com o valor calculado de t e os graus de liberdade ( df = n - 1 = 9), consultamos a tabela t de Student para encontrar o valor crítico correspondente ao nível de significância de 0,05 em um teste unilateral.

Passo 9

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico da tabela:
  • Se t calculado < t crítico, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se t calculado ≥ t crítico, não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 10

Após realizar os cálculos, verificamos que o valor t calculado é menor que o valor crítico da tabela. Isso significa que há evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Sim, há evidências suficientes ao nível de significância de 0,05 para concluir que o Processo de Esterilização por Vapor (PEV) retira menos vitaminas dos vegetais enlatados do que o processo padrão.

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