(Questão aberta) Resolva o seguinte PVI usando o método do fator integrante:
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI
Isso é uma equação linear de 1ª ordem no formato
, e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
. Aqui temos
O método diz que o fator integrante é
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante:
Agora multiplicamos toda a equação original por
:
Passo 4
Multiplicando e reconhecendo a derivada do produto, obtemos
Mas o lado esquerdo é
Logo a equação vira
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
:
Agora aplicamos a condição inicial
:
Portanto, a solução geral satisfaz o PVI é:
Passo 7
Substituindo
, concluímos