(Questão aberta) Resolva o seguinte PVI usando o método do fator integrante:
l y^prime+y=9 y(0)=4

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
y'+y=9, y(0)=4
Isso é uma equação linear de 1ª ordem no formato y'+p(x)y=q(x), e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções p(x) e q(x). Aqui temos
p(x)=1,
q(x)=9
O método diz que o fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx.

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x
Agora multiplicamos toda a equação original por e^x:

Passo 4

Multiplicando e reconhecendo a derivada do produto, obtemos
e^x y'+e^x y = 9e^x
Mas o lado esquerdo é
ddxl(e^x yr)
Logo a equação vira
ddxl(e^x yr)=9e^x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y = 9integral e^x,dx = 9e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y:
y = 9 + Ce^-x
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=4:
4 = 9 + C e^0 implies C = 4-9 = -5
Portanto, a solução geral satisfaz o PVI é:

Passo 7

Substituindo C=-5, concluímos
y(x)=9 - 5e^-x

Resposta

y(x)=9-5e^-x

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