© 1-x3-x >= 2

Passo 1

Resumo da questão: temos a inequação fracionária 1 - x3 - x >= 2. Esse é um problema de inequações racionais, em que precisamos identificar domínio (denominador ≠ 0) e analisar o sinal do numerador e do denominador para encontrar onde a fração é maior ou igual a zero.

Passo 2

Para resolver, passo todos os termos para o mesmo lado e escrevo a diferença em uma única fração. Primeiro subtraio 2 de ambos os lados:
1 - x3 - x - 2 >= 0
Agora coloco na mesma fração, usando o mesmo denominador 3 - x:
1 - x - 2(3 - x)3 - x >= 0
Desenvolvendo o numerador:
1 - x - 2,(3 - x) = 1 - x - 6 + 2x = x - 5
Logo a inequação vira:
x - 53 - x >= 0

Passo 3

Identifico o domínio e os pontos críticos. O denominador exige 3 - x neq 0, ou seja, x neq 3. Os zeros da expressão ocorrem em:
• Numerador zero em x = 5.
• Denominador zero em x = 3.
Esses valores dividem a reta em três intervalos: ( -∞, 3 ), (3, 5), (5, +∞).

Passo 4

Faço a análise de sinal em cada intervalo usando que a fração é produto de sinais de x-5 e 3-x:
• Em ( -∞, 3 ): x - 5 < 0 e 3 - x > 0 ⇒ fração negativa.
• Em (3, 5): x - 5 < 0 e 3 - x < 0 ⇒ fração positiva.
• Em (5, +∞): x - 5 > 0 e 3 - x < 0 ⇒ fração negativa.
Além disso, em x = 5 a fração vale zero (satisfaz >= 0), e em x = 3 é indefinida.

Passo 5

Como queremos onde a expressão é >= 0, escolhemos o intervalo onde é positiva e incluímos o zero:
[(3, 5].

Resposta

A solução da inequação é x in (3, 5].

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