XXXV. Encontre o centro e o raio de convergência das séries de potências
\sum \frac{n^{2 n}}{(n!)^{n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2n}}{(n!)^{n}} \,x^{n}.
Este é um problema de análise de séries de potências, em que vamos usar o teste da raiz para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Observamos que a série está escrita na forma
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\,(x-c)^{n}
com a_{n} = \frac{n^{2n}}{(n!)^{n}} e (x-c)^{n}=x^{n}. Logo, o centro da série é
c = 0.

Passo 3

Pelo teste da raiz, o raio de convergência R é dado por
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|}}.
Aqui
a_{n} = \frac{n^{2n}}{(n!)^{n}},
então vamos calcular
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} = \sqrt[n]{\frac{n^{2n}}{(n!)^{n}}} = \frac{n^{2}}{n!}.

Passo 4

Agora estimamos o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n!}.
Como n! cresce muito mais rápido que qualquer potência polinomial, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n!} = 0.
Logo
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}\bigr|} = 0.

Passo 5

Substituindo no teste da raiz, obtemos
R = \frac{1}{0} = +\infty.
Isto significa que a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

O centro de convergência é 0 e o raio de convergência é +\infty.

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