XXXIV. { }^{17} Verifique a convergência das séries
a) \sum \frac{(-1)^{n}}{e^{2}}
b) \sum \frac{\operatorname{sen} n+\cos \frac{n}{2}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência de duas séries numéricas:
a) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{e^{2}}
b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n+\cos\frac{n}{2}}{n^{2}}
O conteúdo principal aqui é teste da convergência de séries, incluindo o teste da condição necessária (termo geral tende a zero) e o teste de comparação para absoluta convergência.
Passo 2
Para a série (a), note que o termo geral é
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{e^{2}}.
Um requisito básico para qualquer série \sum a_{n} convergir é que a_{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui temos
Sabemos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{2}} é convergente (é uma série p com p=2>1). Pelo teste de comparação, a série (b) converge absolutamente.
Passo 5
Concluímos:
A série (a) diverge porque o termo geral não tende a zero.
A série (b) converge absolutamente e, portanto, converge.