XXXIV. { }^{17} Verifique a convergência das séries
a) \sum \frac{(-1)^{n}}{e^{2}}
b) \sum \frac{\operatorname{sen} n+\cos \frac{n}{2}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de duas séries numéricas:
a) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{e^{2}}
b) \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n+\cos\frac{n}{2}}{n^{2}}
O conteúdo principal aqui é teste da convergência de séries, incluindo o teste da condição necessária (termo geral tende a zero) e o teste de comparação para absoluta convergência.

Passo 2

Para a série (a), note que o termo geral é
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{e^{2}}.
Um requisito básico para qualquer série \sum a_{n} convergir é que a_{n}\to 0 quando n\to\infty. Aqui temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{e^{2}}
que não existe como zero, pois |a_{n}|=1/e^{2} é constante e não tende a zero.

Passo 3

Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}\neq 0, concluímos que a série (a) diverge pelo teste da condição necessária.

Passo 4

Para a série (b), considere o módulo do termo geral:
\bigl|\sin n+\cos\tfrac{n}{2}\bigr|\le|\sin n|+|\cos\tfrac{n}{2}|\le1+1=2.
Logo
\left|\frac{\sin n+\cos\frac{n}{2}}{n^{2}}\right|\le\frac{2}{n^{2}}.
Sabemos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{2}} é convergente (é uma série p com p=2>1). Pelo teste de comparação, a série (b) converge absolutamente.

Passo 5

Concluímos:
  • A série (a) diverge porque o termo geral não tende a zero.
  • A série (b) converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

(a) Diverge.
(b) Converge (convergência absoluta).

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