Derive as funções abaixo
& F(x)=(x^4+3 x^2-2)^5 & F(x)=raiz[4]1+2 x+x^3 & g(t)=1(t^4+1)^3 & y=cos (a^3+x^3) & y=x e^-k s & f(x)=(2 x-3)^4(x^2+x+1)^5

Passo 1

O enunciado pede a derivação de seis funções, aplicando principalmente a regra da cadeia, a regra do poder e, em um caso, a regra do produto.

Passo 2

Para F(x)=(x^4+3x^2-2)^5 usamos cadeia: seja u(x)=x^4+3x^2-2, então F(x)=u(x)^5 e
F'(x)=5,u(x)^4cdot u'(x) =5,(x^4+3x^2-2)^4,(4x^3+6x)

Passo 3

Para F(x)=raiz[4]1+2x+x^3=(1+2x+x^3)^1/4 seja v(x)=1+2x+x^3. Então
F'(x)=tfrac14,v(x)^-3/4cdot v'(x) =tfrac14,(1+2x+x^3)^-3/4,(2+3x^2)

Passo 4

Para g(t)=1(t^4+1)^3=(t^4+1)^-3, aplique cadeia:
g'(t)=-3,(t^4+1)^-4cdot4t^3 =-12,t^3,(t^4+1)^-4

Passo 5

Para y=cos(a^3+x^3) em função de x, seja w(x)=a^3+x^3. Então
dydx=-sinl(a^3+x^3r)cdot w'(x) =-sinl(a^3+x^3r)cdot3x^2

Passo 6

Para y = x e^-k s derivando em relação a s (com x constante), produto e cadeia:
dyds =xcdotdds(e^-ks) =xcdot(-k)e^-ks =-k,x,e^-ks

Passo 7

Para f(x)=(2x-3)^4,(x^2+x+1)^5 usamos produto e cadeia. Seja p(x)=(2x-3)^4 e q(x)=(x^2+x+1)^5. Então
f'(x)=p'(x),q(x)+p(x),q'(x) =4(2x-3)^3cdot2,(x^2+x+1)^5 +(2x-3)^4cdot5(x^2+x+1)^4,(2x+1),
que simplifica para
f'(x) =8(2x-3)^3(x^2+x+1)^5 +5(2x-3)^4(2x+1)(x^2+x+1)^4

Resposta

  1. Para F(x)=(x^4+3x^2-2)^5:
F'(x)=5(x^4+3x^2-2)^4(4x^3+6x)
  1. Para F(x)=raiz[4]1+2x+x^3:
F'(x)=tfrac14(1+2x+x^3)^-3/4(2+3x^2)
  1. Para g(t)=1(t^4+1)^3:
g'(t)=-12,t^3,(t^4+1)^-4
  1. Para y=cos(a^3+x^3):
dydx=-3x^2sin(a^3+x^3)
  1. Para y=xe^-ks (derivando em s):
dyds=-k,x,e^-ks
  1. Para f(x)=(2x-3)^4(x^2+x+1)^5:
f'(x) =8(2x-3)^3(x^2+x+1)^5 +5(2x-3)^4(2x+1)(x^2+x+1)^4

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