Determine as seguintes equações (Utilizar as propriedades de somatório), sabendo-se que os valores de X e Y são:
\triangle \int_{i=1}^{5} x_{i}=28
\sum_{i=1}^{5} Y_{i}=24
\sum_{i=1}^{5} x_{i}{ }^{2}=174
c)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (peguei-os do enunciado):
  • \sum_{i=1}^{5} x_{i}=28.
  • \sum_{i=1}^{5} y_{i}=24.
  • \sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=174.
  • n=5 (há cinco observações).
A pergunta (item c) que vou resolver é: determinar \displaystyle \sum_{i=1}^{5}\bigl(x_{i}-\overline{x}\bigr)^{2}, onde \overline{x} é a média amostral de x.

Passo 2

Calcular a média amostral \overline{x}.
Explicação da fórmula: a média amostral \overline{x} é definida por
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}.
Aqui n é o número de observações e \sum_{i=1}^{n}x_{i} é a soma dos valores de x.
Aplicando aos dados:
\overline{x}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}x_{i}=\frac{1}{5}\cdot 28=\;5{,}6.

Passo 3

Apresentar a identidade útil para somatórios de desvios ao quadrado.
Explicação: ao expandir (x_{i}-\overline{x})^{2} e somar sobre i obtemos
\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\overline{x}\sum_{i=1}^{n}x_{i}+ \sum_{i=1}^{n}\overline{x}^{2}.
Como \sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\overline{x} e \sum_{i=1}^{n}\overline{x}^{2}=n\overline{x}^{2}, substituindo dá
\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2\overline{x}\,(n\overline{x})+n\overline{x}^{2}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}.
Essa fórmula é muito prática porque evita calcular cada x_{i}-\overline{x} separadamente.

Passo 4

Aplicar a identidade com os valores numéricos e fazer as contas passo a passo.
Usando a fórmula
\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-5\overline{x}^{2},
substitui-se \sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}=174 e \overline{x}=5{,}6.
Primeiro calcule \overline{x}^{2}:
\overline{x}^{2}=(5{,}6)^{2}=31{,}36,
explicando: 5{,}6=56/10, então (56/10)^{2}=3136/100=31{,}36.
Em seguida:
5\overline{x}^{2}=5\cdot 31{,}36=156{,}80.
Finalmente:
\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=174-156{,}80=17{,}20.

Passo 5

Interpretação curta: o valor \displaystyle \sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=17{,}20 é a soma dos quadrados dos desvios de x em relação à média; é a base para calcular variância e desvio padrão (se precisar, a gente faz isso junto).

Resposta

\displaystyle \sum_{i=1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=17{,}20

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