1. y^prime prime=1+(y^prime)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' = 1 + l(y'r)^2
e pede a solução geral y(x). Para resolver, vamos reduzir a ordem definindo p(x)=y'(x) e depois integrar duas vezes.

Passo 2

Defina p(x)=y'(x). Então
p' = dpdx = y'' = 1 + p^2
Isso é uma equação de primeira ordem em p. Podemos usar separação de variáveis:
dp1+p^2 = dx

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral dp1+p^2 = integral dx
arctan(p) = x + C1,
onde C1 é uma constante de integração. Isolando p, temos
p = tanl(x + C1r)

Passo 4

Lembrando que p=y', integramos novamente:
y' = tanl(x + C1r) Longrightarrow y = integral tanl(x + C1r),dx = -lnl|cos(x + C1)r| + C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x) = -lnl|cos(x + C1)r| + C2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

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