Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede a antidiferenciação (encontrar uma primitiva) da função dada e, depois, verificar o resultado calculando a derivada da primitiva. A integral é
Informações relevantes dadas:
- A integral é a soma de duas parcelas:
e . - É pedido também verificar a primitiva encontrando sua derivada.
Passo 2
Conceito rápido: uma primitiva (ou antiderivada) de uma função
é uma função
tal que
Para integrais de soma, podemos integrar termo a termo:
Aqui vamos aplicar isso: integrar
e integrar
separadamente.
Passo 3
Fórmulas que vamos usar (e porque):
- Sabendo as derivadas básicas:
. Invertendo isso, uma primitiva de é , pois
- Também sabemos:
. Logo, uma primitiva de é , pois
Estas são integrais padrão e muito úteis para trigonometria.
Passo 4
Aplicando integração termo a termo e as fórmulas acima:
Para o primeiro termo,
Para o segundo termo,
Somando os resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva:
Passo 5
Verificação: calcular a derivada de
e checar se volta à função original.
Calculemos termo a termo.
Derivada de
:
Derivada de
:
Somando as derivadas:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.