Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
int\left(3 \operatorname{cosec}^{2} t-5 \operatorname{sec} t \operatorname{tg} t\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a antidiferenciação (encontrar uma primitiva) da função dada e, depois, verificar o resultado calculando a derivada da primitiva. A integral é
\int\!\left(3\csc^{2}t-5\operatorname{sec} t\tan t\right)\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • A integral é a soma de duas parcelas: 3\csc^{2}t e -5\operatorname{sec} t\tan t.
  • É pedido também verificar a primitiva encontrando sua derivada.

Passo 2

Conceito rápido: uma primitiva (ou antiderivada) de uma função f(t) é uma função F(t) tal que
F'(t)=f(t).
Para integrais de soma, podemos integrar termo a termo:
\int\!(a(t)+b(t))\,dt=\int\!a(t)\,dt+\int\!b(t)\,dt.
Aqui vamos aplicar isso: integrar 3\csc^{2}t e integrar -5\operatorname{sec} t\tan t separadamente.

Passo 3

Fórmulas que vamos usar (e porque):
  • Sabendo as derivadas básicas: \dfrac{d}{dt}\big(\cot t\big)=-\csc^{2}t. Invertendo isso, uma primitiva de \csc^{2}t é -\cot t, pois
\frac{d}{dt}\big(-\cot t\big)=-\big(-\csc^{2}t\big)=\csc^{2}t.
  • Também sabemos: \dfrac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\big)=\operatorname{sec} t\tan t. Logo, uma primitiva de \operatorname{sec} t\tan t é \operatorname{sec} t, pois
\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\big)=\operatorname{sec} t\tan t.
Estas são integrais padrão e muito úteis para trigonometria.

Passo 4

Aplicando integração termo a termo e as fórmulas acima:
Para o primeiro termo,
\int\!3\csc^{2}t\,dt=3\int\!\csc^{2}t\,dt=3\big(-\cot t\big)=-3\cot t.
Para o segundo termo,
\int\!-5\operatorname{sec} t\tan t\,dt=-5\int\!\operatorname{sec} t\tan t\,dt=-5\operatorname{sec} t.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva:
F(t)=-3\cot t-5\operatorname{sec} t + C.

Passo 5

Verificação: calcular a derivada de F(t) e checar se volta à função original.
Calculemos termo a termo.
Derivada de -3\cot t:
\frac{d}{dt}\big(-3\cot t\big)=-3\cdot\frac{d}{dt}\big(\cot t\big)=-3\cdot\big(-\csc^{2}t\big)=3\csc^{2}t.
Derivada de -5\operatorname{sec} t:
\frac{d}{dt}\big(-5\operatorname{sec} t\big)=-5\cdot\frac{d}{dt}\big(\operatorname{sec} t\big)=-5\cdot\big(\operatorname{sec} t\tan t\big)=-5\operatorname{sec} t\tan t.
Somando as derivadas:
F'(t)=3\csc^{2}t-5\operatorname{sec} t\tan t,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-3\cot t-5\operatorname{sec} t + C

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