y{\prime}=2(1+x)\left(1+y{2}\right), \quad y(0)=0
]

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2(1+x)l(1+y^2r),
com condição inicial y(0)=0.
O conteúdo é equação separável, e vamos resolver separando as variáveis e integrando.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dy1+y^2 = 2(1+x),dx
Agora integramos ambos os lados:
integral dy1+y^2 = integral 2(1+x),dx
No lado esquerdo temos integraldy1+y^2 = arctan(y) e no direito
integral 2(1+x),dx = integral (2 + 2x),dx = 2x + x^2 + C
Logo
arctan(y) = x^2 + 2x + C

Passo 3

Use a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 em
arctan(y) = x^2 + 2x + C
0 = 0 + 0 + C Longrightarrow C = 0

Passo 4

Com C=0, a relação fica
arctan(y) = x^2 + 2x
Isolando y, obtemos
y = tanl(x^2 + 2xr)

Resposta

y(x) = tanl(x^2 + 2xr)

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