Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo.
D=(x, y, z) in R^3 ; 2 x-y+3 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
D = (x,y,z)inR^3 mid 2x - y + 3z = 0,
ou seja, é o núcleo da forma linear (x,y,z)mapsto 2x - y + 3z. Para achar uma base e a dimensão de D, vamos resolver a equação homogênea definidora, expressar as variáveis livres e escrever uma combinação linear geradora.

Passo 2

Da equação
2x - y + 3z = 0
podemos isolar y em função de x e z:
y = 2x + 3z
Logo os vetores em D têm a forma
(x,y,z) = (x,;2x+3z,;z)

Passo 3

Separemos os parâmetros x e z para escrever em combinação linear:
(x,2x+3z,z) = x,(1,2,0) ;+; z,(0,3,1)
Isso mostra que todo vetor de D é combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,3,1).

Passo 4

Verificamos que (1,2,0) e (0,3,1) são linearmente independentes, pois não existe escalares a,b não triviais tais que
a,(1,2,0) + b,(0,3,1) = (0,0,0)
além de a=b=0. Assim esses dois vetores formam uma base de D e geram exatamente todas as soluções da equação.

Resposta

Uma base de D é
(1,2,0),,(0,3,1),
e a dimensão de D é dim(D)=2.

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