Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá o subespaço
ou seja, é o núcleo da forma linear
. Para achar uma base e a dimensão de
, vamos resolver a equação homogênea definidora, expressar as variáveis livres e escrever uma combinação linear geradora.
Passo 2
Da equação
podemos isolar
em função de
e
:
Logo os vetores em
têm a forma
Passo 3
Separemos os parâmetros
e
para escrever em combinação linear:
Isso mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
.
Passo 4
Verificamos que
e
são linearmente independentes, pois não existe escalares
não triviais tais que
além de
. Assim esses dois vetores formam uma base de
e geram exatamente todas as soluções da equação.
Resposta
Uma base de
é
e a dimensão de
é
.