[
y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=e^{2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=1
y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=e^{2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes não-homogênea
, sujeita a
,
e
. Vamos usar transformada de Laplace para incorporar facilmente as condições iniciais e obter a solução
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usamos as propriedades
,
,
,
e sabemos que . Substituindo
,
e
, obtemos uma equação algébrica em
.
e sabemos que
Passo 3
Coletamos os termos em
e isolamos:
resulta em
Logo,
resulta em
Logo,
Passo 4
Fatoramos o polinômio do lado de
:
. Assim,
Unimos o numerador em um só quociente sobre
:
, ficando
Passo 5
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Passo 6
Aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo, lembrando que
. Assim,
Verificamos que ela satisfaz as condições iniciais e a equação dada.
Resposta
y(t) = \frac{1}{12}e^{2t} + \frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{t} - \frac{5}{6}e^{-t}