[
y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=e^{2 t}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes não-homogênea y''' + 2y'' - y' - 2y = e^2t, sujeita a y(0)=0, y'(0)=1 e y''(0)=1. Vamos usar transformada de Laplace para incorporar facilmente as condições iniciais e obter a solução y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usamos as propriedades
Ly' = sY(s) - y(0),
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0),
Ly''' = s^3Y(s) - s^2y(0) - sy'(0) - y''(0),
e sabemos que Le^2t = 1s-2. Substituindo y(0)=0, y'(0)=1 e y''(0)=1, obtemos uma equação algébrica em Y(s).

Passo 3

Coletamos os termos em Y(s) e isolamos:
Ly''' + 2Ly'' - Ly' - 2Ly = 1s-2
resulta em
l(s^3 + 2s^2 - s - 2r)Y(s) - (s + 3) = 1s-2
Logo,
Y(s),(s^3 + 2s^2 - s - 2) = 1s-2 + s + 3

Passo 4

Fatoramos o polinômio do lado de Y(s): s^3 +2s^2 - s - 2 = (s+2)(s-1)(s+1). Assim,
Y(s) = 1s-2 + s + 3(s+2)(s-1)(s+1)
Unimos o numerador em um só quociente sobre s-2: tfrac1 + (s+3)(s-2)s-2 = tfracs^2 + s - 5s-2, ficando
Y(s) = s^2 + s - 5(s-2)(s+2)(s-1)(s+1)

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais:
s^2 + s - 5(s-2)(s+2)(s-1)(s+1) = 1121s-2 + 141s+2 + 121s-1 - 561s+1

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo, lembrando que L^-1tfrac1s-a = e^at. Assim,
y(t) = 112e^2t + 14e^-2t + 12e^t - 56e^-t
Verificamos que ela satisfaz as condições iniciais e a equação dada.

Resposta

y(t) = \frac{1}{12}e^{2t} + \frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{1}{2}e^{t} - \frac{5}{6}e^{-t}

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