y^prime prime+4 x y^prime+(4 x^2+2) y=8 e^-x(x+2),
y1(x)=e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y'' + 4x,y' + (4x^2 + 2),y = 8e^-x(x+2)
sabendo que uma solução da homogênea é y1(x)=e^-x^2. Vamos usar redução de ordem para achar a segunda solução da homogênea e depois Var. de Parâmetros para o particular.

Passo 2

Primeiro, para a homogênea y''+4x y'+(4x^2+2)y=0, usamos a fórmula de redução de ordem
y2 = y1 integral e^-integral P(x),dxy1^2,dx,
sendo P(x)=4x. Temos integral P(x),dx=2x^2 e
e^-integral P(x)dx=e^-2x^2,
então
y2 = e^-x^2 integral e^-2x^2(e^-x^2)^2,dx = e^-x^2integral 1,dx = x e^-x^2

Passo 3

Assim a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^-x^2 + C2 x e^-x^2

Passo 4

Para encontrar uma solução particular yp usamos Variação de Parâmetros. Definimos
yp = u1(x)y1 + u2(x)y2
e as fórmulas
u1' = -y2(x),R(x)W(x), u2' = y1(x),R(x)W(x),
onde R(x)=8e^-x(x+2) e o Wronskiano é W=y1 y2'-y1' y2.

Passo 5

Calculando o Wronskiano: com y1=e^-x^2, y1'=-2x e^-x^2, y2=x e^-x^2, y2'=(1-2x^2)e^-x^2, obtemos
W = e^-x^2,(1-2x^2)e^-x^2 - (-2x e^-x^2)(x e^-x^2) = e^-2x^2
Logo
u1' = -x e^-x^2cdot 8e^-x^2-2xe^-2x^2 = -8x e^-2x, u2' = e^-x^2cdot 8e^-x^2-2xe^-2x^2 = 8e^-2x
Integrando,
u1 = integral -8x e^-2x,dx = (4x+2)e^-2x, u2 = integral 8e^-2x,dx = -4e^-2x

Passo 6

Montamos então
yp = u1y1 + u2y2 = (4x+2)e^-2xe^-x^2 -4e^-2xx e^-x^2 = 2e^-x^2-2x

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^-x^2 + C2 x e^-x^2 + 2e^-x(x+2)

Resposta

y(x) = C_{1}e{-x{2}} + C_{2}x e{-x{2}} + 2e^{-x(x+2)}

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