,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
sabendo que uma solução da homogênea é
. Vamos usar redução de ordem para achar a segunda solução da homogênea e depois Var. de Parâmetros para o particular.
Passo 2
Primeiro, para a homogênea
, usamos a fórmula de redução de ordem
sendo
. Temos
e
então
Passo 3
Assim a solução geral da homogênea é
Passo 4
Para encontrar uma solução particular
usamos Variação de Parâmetros. Definimos
e as fórmulas
onde
e o Wronskiano é
.
Passo 5
Calculando o Wronskiano: com
, obtemos
Logo
Integrando,
Passo 6
Montamos então
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma de
com
:
Resposta
y(x) = C_{1}e{-x{2}} + C_{2}x e{-x{2}} + 2e^{-x(x+2)}