x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=-6 x-4,
y1(x)=x^2

Passo 1

Estamos diante da EDO x^2 y'' + x y' - 4y = -6x - 4. Sabemos que y1(x) = x^2 é uma solução da parte homogênea. O conteúdo aqui é equação de Euler-Cauchy e método de coeficientes indeterminados; vamos precisar encontrar a segunda solução independente e uma solução particular.

Passo 2

Para resolver a parte homogênea, usamos o chute clássico de Euler: y = x^m. Substituindo em x^2 y'' + x y' - 4y = 0 a gente chega à equação característica m(m-1) + m - 4 = m^2 - 4 = 0, de onde m = 2 ou m = -2.
Assim, a solução geral do homogêneo é yh(x) = C1 x^2 + C2 x^-2.

Passo 3

Agora partimos para a parte particular. O termo não-homogêneo é -6x - 4, um polinômio de grau 1, então tentamos yp(x) = Ax + B.

Passo 4

Dessa forma, yp' = A e yp'' = 0. Substituindo em x^2 y'' + x y' - 4y obtemos x^2cdot0 + xcdot A - 4(Ax + B) = -3Ax - 4B. Igualando com -6x - 4 -3A = -6 e -4B = -4, logo A = 2 e B = 1.
Portanto, a solução particular é yp(x) = 2x + 1 e a solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1 x^2 + C2 x^-2 + 2x + 1

Exercícios relacionados