onde
é periódica de período
e
Sugestão: Encontre a solução da equação homogênea e some com um solução particular, esta será a solução do PVI. Para obter a solução particular escreva
como uma série de Fourier e em seguida use o método dos coeficientes indeterminados. Res:
.
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI:
, com
, onde
é a onda quadrada de período
valendo +1 em
e −1 em
. O conteúdo principal é EDO linear não-homogênea de segunda ordem; vamos usar solução geral = homogênea + particular, expandir
em série de Fourier e aplicar coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
. A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para obter uma solução particular, escrevemos
em série de Fourier. Como
é uma onda quadrada ímpar de período
, só aparecem senos de harmônicos ímpares:
Este passo usa a fórmula dos coeficientes de série de Fourier para funções ímpares.
Passo 4
Tomamos cada termo da série,
e supomos uma particular da forma
. Substituindo em
obtemos
logo
Assim
Passo 5
Agora impondo as condições iniciais: como
, temos
, então
. Diferenciando
e avaliando em 0 dá
Daí
implica
Passo 6
Juntando
(com
e
acima) e
e agrupando o termo em
, obtemos a solução final