y^prime prime+omega^2 y=f(t), com y(0)=y^prime(0)=0,
onde f é periódica de período 2 pi e
Sugestão: Encontre a solução da equação homogênea e some com um solução particular, esta será a solução do PVI. Para obter a solução particular escreva f(t)= 1, & se & 0 como uma série de Fourier e em seguida use o método dos coeficientes indeterminados. Res: f(t).

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI: y''+omega^2y=f(t), com y(0)=y'(0)=0, onde f(t) é a onda quadrada de período 2pi valendo +1 em (0,pi) e −1 em (pi,2pi). O conteúdo principal é EDO linear não-homogênea de segunda ordem; vamos usar solução geral = homogênea + particular, expandir f(t) em série de Fourier e aplicar coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é y''+omega^2y=0. A equação característica é r^2+omega^2=0, com raízes r=pm iomega. Logo a solução geral homogênea é
yh(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)

Passo 3

Para obter uma solução particular, escrevemos f(t) em série de Fourier. Como f(t) é uma onda quadrada ímpar de período 2pi, só aparecem senos de harmônicos ímpares:
f(t)=4pisumn=1^infty12n-1sinl((2n-1)tr)
Este passo usa a fórmula dos coeficientes de série de Fourier para funções ímpares.

Passo 4

Tomamos cada termo da série,
fn(t)=4pi12n-1sinl((2n-1)tr),
e supomos uma particular da forma yp,n(t)=Dnsin((2n-1)t). Substituindo em y''+omega^2y=fn obtemos
[-(2n-1)^2+omega^2]Dnsin((2n-1)t)=4pi12n-1sin((2n-1)t),
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Dn=4pi1(2n-1)(omega^2-(2n-1)^2)
Assim
yp(t)=sumn=1^infty yp,n(t)=4pisumn=1^infty1(2n-1)(omega^2-(2n-1)^2)sinl((2n-1)tr)

Passo 5

Agora impondo as condições iniciais: como sin((2n-1)cdot0)=0, temos yp(0)=0, então A=0. Diferenciando yp e avaliando em 0 dá
yp'(0)=4pisumn=1^infty1omega^2-(2n-1)^2
Daí y'(0)=B,omega+yp'(0)=0 implica
B=-yp'(0)omega=-4pi,omegasumn=1^infty1omega^2-(2n-1)^2

Passo 6

Juntando yh (com A=0 e B acima) e yp e agrupando o termo em sin(omega t), obtemos a solução final
y(t)=4pisumn=1^infty1omega^2-(2n-1)^2l[12n-1sinl((2n-1)tr)-1omegasin(omega t)r]

Resposta

y(t)=4pisumn=1^infty1omega^2-(2n-1)^2l[tfrac12n-1sinl((2n-1)tr)-tfrac1omegasin(omega t)r].

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