1. y^prime prime+y=tg t+e^3 t-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+y=tan t + e^3t-1
O plano é encontrar a solução geral como
y(t)=yh(t)+yp(t),
onde yh é a solução da homogênea y''+y=0 e yp é uma solução particular da não-homogênea. Para os termos constantes e exponenciais usamos coeficientes a determinar, e para tan t aplicamos variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''+y=0
usamos a equação característica r^2+1=0, que dá r=pm i. Logo
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
yp2(t)=Apara o termo -1,
yp3(t)=Be^3tpara o termo e^3t
Substituindo yp2=A em y''+y=-1 resulta 0+A=-1, logo A=-1.
Substituindo yp3=Be^3t em y''+y=e^3t obtemos
B,(9+1)e^3t=e^3timplies B=110
Assim
yp2(t)+yp3(t)=-1+e^3t10

Passo 4

Para o termo tan t usamos variação de parâmetros com as soluções fundamentais y1=cos t, y2=sin t. O Wronskiano vale
W=y1y2'-y1'y2 =cos tcdotcos t-(-sin t)sin t=1
As fórmulas dão
u1'=-y2tan tW=-sin ttan t, u2'=y1tan tW=cos ttan t
Integramos:
integral u1',dt=-integralsin^2tcos t,dt =-integrall(sec t-cos tr)dt =-lnlvertsec t+tan trvert+sin t,
integral u2',dt=integralsin t,dt=-cos t
Logo a parte particular é
yp1=-y1!integral u1',dt+y2!integral u2',dt =-cos tl[!-,lnlvertsec t+tan trvert+sin tr] +sin t(-cos t) =-cos tlnlvertsec t+tan trvert

Passo 5

Somando todas as partes, a solução geral é
y(t)=yh+yp1+yp2+yp3 =C1cos t+C2sin t -cos tlnlvertsec t+tan trvert +e^3t10-1

Resposta

boxedy(t)=C1cos t+C2sin t -cos tlnlvertsec t+tan trvert +e^3t10-1

Exercícios relacionados