1. y^prime prime+y=tg^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = tan^2 t
O conteúdo aqui é solução de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular usando a identidade tan^2 t = sec^2 t - 1 e o método de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
A sua equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo, a solução geral da parte homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Reescrevemos o termo não homogêneo usando
tan^2 t = sec^2 t - 1
Assim a EDO fica
y'' + y = sec^2 t - 1

Passo 4

Vamos separar a procura de uma solução particular yp em duas partes:
  1. Para a parte constante -1, experimente yp1=A. Então yp1''+yp1=0+A=A deve ser -1, logo A=-1. Portanto
yp1 = -1,
que resolve y''+y=-1.

Passo 5

Agora queremos yp2 tal que
yp2'' + yp2 = sec^2 t
Usamos variação de parâmetros com as soluções fundamentais cos t e sin t. O wronskiano é W=1. As fórmulas dão
yp2(t) = -cos t integral sin t,sec^2 t,dt ;+;sin t integral cos t,sec^2 t,dt
Calculate os integrais:
integral sin t,sec^2 t,dt = integral sin tcos^2 t,dt = integral tan t,sec t,dt = sec t,
integral cos t,sec^2 t,dt = integral cos tcos^2 t,dt = integral sec t,dt = lnl|sec t + tan tr|
Substituindo:
yp2 = -cos t;(sec t);+;sin t;lnl|sec t + tan tr| = -1 + sin t,lnl|sec t + tan tr|

Passo 6

A solução particular completa é
yp = yp1 + yp2 = -1 + l(-1 + sin t,ln|sec t + tan t|r) = -2 + sin t,lnl|sec t + tan tr|
Portanto a solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1cos t + C2sin t ;-;2 ;+;sin t,lnl|sec t + tan tr|

Resposta

boxedy(t) = C1cos t + C2sin t -2 + sin t,lnl|sec t + tan tr|

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