Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
O conteúdo aqui é solução de EDO linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular usando a identidade
e o método de variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A sua equação característica é
, com raízes
. Logo, a solução geral da parte homogênea é
Passo 3
Reescrevemos o termo não homogêneo usando
Assim a EDO fica
Passo 4
Vamos separar a procura de uma solução particular
em duas partes:
- Para a parte constante
, experimente . Então deve ser , logo . Portanto
que resolve
.
Passo 5
Agora queremos
tal que
Usamos variação de parâmetros com as soluções fundamentais
e
. O wronskiano é
. As fórmulas dão
Calculate os integrais:
Substituindo:
Passo 6
A solução particular completa é
Portanto a solução geral da EDO é