4- Um carro usado pode ser comprado por 20.000 àçõ$1.949,74$ cada. Qual é a taxa de juros efetiva anual aplicada no financiamento? R: 34,48854% a.a. (valor exato); utilizando a interpolação linear, a taxa calculada deve ser próxima do valor exato.

Passo 1

O enunciado dá o preço à vista de $20.000 e a opção de financiar em n=12 prestações mensais de $1.949,74. O objetivo é encontrar a taxa de juros efetiva anual aplicada, sabendo que primeiro temos de achar a taxa de juros mensal i que satisfaz o valor presente da anuidade igual a $20.000. O conteúdo usado é o de valor presente de anuidade e conversão de taxa mensal para taxa anual efetiva.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do valor presente P de uma anuidade com pagamento R em n períodos a juros mensais i:
P ;=; R ;1 - (1+i)^-ni
No nosso caso
20.000 ;=; 1.949,74;1 - (1+i)^-12i

Passo 3

Fazemos duas estimativas de i, digamos i1=0,02 (2% a.m.) e i2=0,03 (3% a.m.), e calculamos os correspondentes valores presentes:
Para i1=0,02:
1,02^-12approx0,78849, 1-0,788490,02approx10,5755, PV1=1.949,74times10,5755approx20.620,0
Para i2=0,03:
1,03^-12approx0,70138, 1-0,701380,03approx9,9540, PV2=1.949,74times9,9540approx19.407,7

Passo 4

Usamos interpolação linear para aproximar i tal que PV(i)=20.000:
i approx i1 + 20.000 - PV1PV2 - PV1,(i2 - i1) =0,02 + -620,019.407,7 - 20.620,0times0,01 approx0,025116
Portanto a taxa mensal aproximada é iapprox2,5116%.

Passo 5

Convertendo para taxa efetiva anual:
ia = (1 + i)^12 - 1 = (1 + 0,025116)^12 - 1 approx0,3464ou34,64% aa
Esse valor fica bem próximo do valor exato de 34,48854% a.a.

Resposta

A taxa de juros efetiva anual aproximada é de 34,64%, valor muito próximo dos 34,48854% a.a. exatos.

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