y^{\prime}=a^{x+y} \quad a>0, a \neq 1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = a^{\,x+y},\quad a>0,\\ a\neq1,
que é de variáveis separáveis. Para resolver, vamos usar que
\frac{d}{dt}a^{t} = a^{t}\ln a
e, portanto,
\int a^{t}\,dt = \frac{a^{t}}{\ln a}.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e usando a^{x+y}=a^{x}a^{y}, temos
\frac{dy}{dx} = a^{x}a^{y} \quad\Longrightarrow\quad a^{-y}\,dy = a^{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int a^{-y}\,dy = \int a^{x}\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral:
\int a^{-y}\,dy = -\frac{a^{-y}}{\ln a}, \qquad \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a}.
Logo,
-\frac{a^{-y}}{\ln a} = \frac{a^{x}}{\ln a} + C.

Passo 5

Multiplicando tudo por \ln a, obtemos
-\,a^{-y} = a^{x} + C_{1},
onde C_{1}=C\ln a é constante arbitrária.

Passo 6

Reescrevendo a constante (chame de C) e mudando de sinal, a solução implícita fica
a^{x} + a^{-y} = C.

Passo 7

Para isolar y, escrevemos
a^{-y} = C - a^{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,y = \log_{a}\bigl(C - a^{x}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\log_{a}\bigl(C - a^{x}\bigr).

Resposta

y(x) = -\log_{a}\bigl(C - a^{x}\bigr),
onde C é a constante de integração.

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