\left(1+e^{x}\right) y y^{\prime}=e^{y}
y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
(1+e^{x})\,y\,\frac{dy}{dx}=e^{y}
com condição inicial y(0)=0. Esta é uma EDO de primeira ordem e forma separável. Vamos separar variáveis, integrar, usar a condição inicial para achar a constante de integração e, assim, obter a solução.

Passo 2

Reescrevemos a equação de modo a isolar dy e dx:
\frac{dy}{dx} = \frac{e^{y}}{y\,(1+e^{x})} \quad\Longrightarrow\quad e^{-y}\,y\,dy = \frac{dx}{1+e^{x}}\,.

Passo 3

Integramos o lado em y. Para \displaystyle \int y\,e^{-y}dy,
fazemos integração por partes com u=y, dv=e^{-y}dy, logo du=dy, v=-e^{-y}. Assim,
\int y\,e^{-y}dy = -y\,e^{-y} + \int e^{-y}dy = -y\,e^{-y} - e^{-y} = -(y+1)e^{-y}.

Passo 4

Integramos o lado em x:
\int \frac{dx}{1+e^{x}}.
Fazendo t=e^{x}, dt=e^{x}dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{t}, obtemos
\int \frac{dx}{1+e^{x}} = \int \frac{dt}{t(1+t)} = \ln|t| - \ln|1+t| = x - \ln\bigl(1+e^{x}\bigr).

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante C, vem
-(y+1)e^{-y} = x - \ln\bigl(1+e^{x}\bigr) + C.

Passo 6

Usamos a condição inicial x=0, y=0. Substituindo:
-(0+1)e^{0} = 0 - \ln(1+e^{0}) + C \quad\Longrightarrow\quad -1 = -\ln2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1 + \ln2.

Passo 7

Substituindo C na relação geral e multiplicando por -1 para simplificar, obtemos a solução implícita
(y+1)e^{-y} = \ln\bigl(1+e^{x}\bigr) - x + 1 - \ln2.

Resposta

(y+1)e^{-y} = \ln\bigl(1+e^{x}\bigr) - x + 1 - \ln2.

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