y^{\prime \prime}-y=\left(1+e^{-t}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=(1+e^{-t})^{-2}.
O plano é primeiro achar a solução homogênea, depois uma solução particular (por variação de parâmetros) e, por fim, somar as duas.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-y=0.
A equação característica é
r^2-1=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1e^t + C_2e^{-t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para uma solução particular usamos variação de parâmetros. Escolhemos
y_1=e^t,\quad y_2=e^{-t},
cujo Wronskiano é
W=y_1y_2' - y_1'y_2 = e^t(-e^{-t}) - e^t\,e^{-t} = -2.
As fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,f}{W},\quad u_2' = \frac{y_1\,f}{W},
onde f(t)=(1+e^{-t})^{-2}. Assim
u_1' = \frac{e^{-t}(1+e^{-t})^{-2}}{2}, \qquad u_2' = -\frac{e^t(1+e^{-t})^{-2}}{2}.
Para u_1 faça a substituição v=1+e^{-t}, dv=-e^{-t}dt, obtém-se
u_1 = \frac12\int\frac{e^{-t}}{(1+e^{-t})^2}\,dt = \frac1{2(1+e^{-t})}.
Para u_2 use w=e^t, dw=e^t dt. O cálculo dá
u_2 = -\frac{e^t}{2} + \ln\bigl(1+e^t\bigr) + \frac1{2(1+e^t)}.

Passo 4

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = \frac{e^t}{2(1+e^{-t})} + \Bigl(-\tfrac{e^t}{2} + \ln(1+e^t) + \tfrac1{2(1+e^t)}\Bigr)e^{-t}.
Simplificando e lembrando que termos em e^t e e^{-t} podem entrar em y_h, chega-se a
y_p(t)=e^{-t}\,\ln\bigl(1+e^t\bigr)\;-\;1.

Resposta

A solução geral da equação é
y(t)=C_1e^t + C_2e^{-t} + e^{-t}\ln\bigl(1+e^t\bigr)\;-\;1,
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

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