Usando o método das diferenças divididas de Newton, encontre o polinômio interpolador para os pontos:
(1,2),(2,3),(4,11)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio interpolador de grau <=2 que passa pelos pontos (1,2), (2,3) e (4,11) usando o método das diferenças divididas de Newton. Vamos calcular as diferenças divididas de ordem 0, 1 e 2 e depois montar a forma de Newton do polinômio.

Passo 2

Definimos os nós e os valores:
x_0 = 1,\quad f(x_0)=2;
x_1 = 2,\quad f(x_1)=3;
x_2 = 4,\quad f(x_2)=11.
As diferenças divididas de ordem 0 são simplesmente f[x_i]=f(x_i).

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} =\frac{3-2}{2-1}=1,
f[x_1,x_2]=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} =\frac{11-3}{4-2}=4.

Passo 4

Calculamos a diferença dividida de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{4-1}{4-1}=1.

Passo 5

Montamos a forma de Newton do polinômio:
P(x) =f[x_0] +f[x_0,x_1]\,(x-x_0) +f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Substituindo os valores:
P(x)=2+1\,(x-1)+1\,(x-1)(x-2).

Passo 6

Expandindo e simplificando:
P(x)=2+(x-1)+(x^2-3x+2) =x^2-2x+3.

Resposta

O polinômio interpolador é
P(x)=x^2-2x+3.

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