Aplique a forma de Lagrange para determinar o polinômio que interpola os pontos:
(-1,4),(0,1),(2,-5)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio interpolador de grau até 2 que passa pelos pontos (-1,4), (0,1) e (2,-5) usando a forma de Lagrange. Vamos usar a definição de polinômio de Lagrange, que se baseia em construir polinômios básicos L_i(x) que valem 1 num ponto e 0 nos demais, e combinar esses L_i com os valores y_i.

Passo 2

Sejam os pontos (x_0,y_0)=(-1,4), (x_1,y_1)=(0,1) e (x_2,y_2)=(2,-5). A forma de Lagrange diz que
P(x)=\sum_{i=0}^{2}y_i\,L_i(x),
onde
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.

Passo 3

Vamos calcular cada L_i(x):
L_0(x)=\frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_0 - x_1)(x_0 - x_2)} =\frac{(x - 0)(x - 2)}{(-1-0)(-1-2)} =\frac{x(x-2)}{(-1)(-3)} =\frac{x^2 - 2x}{3}.
L_1(x)=\frac{(x - x_0)(x - x_2)}{(x_1 - x_0)(x_1 - x_2)} =\frac{(x + 1)(x - 2)}{(0+1)(0-2)} =\frac{(x+1)(x-2)}{-2} =-\frac{x^2 - x - 2}{2}.
L_2(x)=\frac{(x - x_0)(x - x_1)}{(x_2 - x_0)(x_2 - x_1)} =\frac{(x + 1)(x - 0)}{(2+1)(2-0)} =\frac{x(x+1)}{6}.

Passo 4

Agora montamos
P(x)=4\,L_0(x)+1\,L_1(x)-5\,L_2(x).
Substituindo:
P(x) =4\cdot\frac{x^2-2x}{3} -\frac{x^2 - x -2}{2} -5\cdot\frac{x(x+1)}{6}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 6:
\frac{8(x^2-2x)-3(x^2 - x -2)-5(x^2+x)}{6} =\frac{8x^2-16x-3x^2+3x+6-5x^2-5x}{6} =\frac{-18x+6}{6} =-3x+1.

Resposta

O polinômio interpolador é
P(x)=-3x+1.

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