y{\prime}=-y{2}\left(1+x-x^{2}\right)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
O que se espera aqui (forma padrão de exercícios) é obter a solução geral da equação – isto é, encontrar todas as funções
que satisfazem essa relação. Informação dada:
- A equação diferencial de primeira ordem e separável:
Pergunta implícita que vamos responder:
- Determinar a solução geral
(incluindo soluções singulares/eventuais soluções constantes) e comentar sobre como determinar a constante de integração a partir de uma condição inicial qualquer.
Passo 2
Explicando a técnica que vamos usar (separação de variáveis), passo a passo e de forma didática.
- Ideia da separação de variáveis: se uma equação tem a forma
, podemos rearranjar para e integrar os dois lados; assim isolamos em termos de . - Por que isso funciona: integrar
permite transformar a derivada em diferencial e integrar em . No caso obtemos a primitiva desejada. - Aqui temos
. Note que o lado direito é produto de uma função só de (que é ) e outra só de (que é ). Portanto a equação é separável.
Passo 3
Separar as variáveis explicitamente.
Começamos escrevendo
. Se
não for identicamente zero (tratamos
depois), podemos dividir por
e obter
Agora os
e
estão separados: tudo que envolve
à esquerda e tudo que envolve
à direita — prontos para integrar.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Vou mostrar as integrais passo a passo.
Integral à esquerda:
A primitiva de
é
, porque
. Logo
Integral à direita:
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Passo 5
Juntar as primitivas e organizar a constante de integração.
Da igualdade das duas integrais obtemos
Podemos agrupar as constantes: defina
(que é uma constante arbitrária). Assim
Multiplicando por
em ambos os lados,
Renomeando
por outra constante arbitrária (chame-a de
também, pois qualquer constante serve) é mais comum apresentar:
Portanto isolando
,
onde
é a constante de integração real arbitrária que será ajustada por uma condição inicial se houver.
Explicando o que é cada coisa:
é a função incógnita,
é a variável independente, e
é uma constante de integração que aparece por causa da indefinição da primitiva. Cada valor diferente de
produz uma solução diferente da família de soluções.
Passo 6
Verificar soluções singulares e discutir inclusive
.
- Observe que na separação dividimos por
; isso exige cuidado com a solução . Testando diretamente na equação original, se então e o lado direito também é . Logo é solução (solução constante, chamada solução trivial ou equilíbrio). - A família
não contém para nenhum valor finito de . Portanto a solução trivial é uma solução separada (singular) e deve ser mencionada.
Passo 7
Como determinar a constante
a partir de uma condição inicial (exemplo concreto).
Se for dada uma condição
com
, plugue esses valores na expressão para obter
:
portanto
Exemplo rápido: se
então
, logo
. A solução específica é
Passo 8
Discussão sobre domínio de validade da solução e comportamentos.
- A solução explícita tem denominador
. Onde a solução racional explode (tem assíntota vertical) e, portanto, a solução só existe e é contínua em intervalos onde . - Em termos práticos para uma condição inicial em
, a solução está garantida em um intervalo maximal que contém até a primeira raiz de (para a esquerda ou direita) onde o denominador zera. - A solução
é global e definida para todo .
Passo 9
Verificação rápida por diferenciação (checagem da solução encontrada).
Se
com
, então
Calcule
. Logo
Como
temos
. Portanto
que é exatamente a equação original. Assim a solução está correta.