y{\prime}=-y{2}\left(1+x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária
y' = -y^{2}\bigl(1+x-x^{2}\bigr).
O que se espera aqui (forma padrão de exercícios) é obter a solução geral da equação – isto é, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa relação. Informação dada:
  • A equação diferencial de primeira ordem e separável: \;y' = \dfrac{dy}{dx} = -y^{2}\bigl(1+x-x^{2}\bigr).
Pergunta implícita que vamos responder:
  • Determinar a solução geral y(x) (incluindo soluções singulares/eventuais soluções constantes) e comentar sobre como determinar a constante de integração a partir de uma condição inicial qualquer.

Passo 2

Explicando a técnica que vamos usar (separação de variáveis), passo a passo e de forma didática.
  • Ideia da separação de variáveis: se uma equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y), podemos rearranjar para \dfrac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx e integrar os dois lados; assim isolamos y em termos de x.
  • Por que isso funciona: integrar \dfrac{d}{dx}F(y(x)) = F'(y)\,y' permite transformar a derivada em diferencial dy e integrar em x. No caso F'(y)=1/h(y) obtemos a primitiva desejada.
  • Aqui temos \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}(1+x-x^{2}). Note que o lado direito é produto de uma função só de y (que é -y^{2}) e outra só de x (que é 1+x-x^{2}). Portanto a equação é separável.

Passo 3

Separar as variáveis explicitamente.
Começamos escrevendo \dfrac{dy}{dx}=-y^{2}\bigl(1+x-x^{2}\bigr). Se y não for identicamente zero (tratamos y\equiv 0 depois), podemos dividir por y^{2} e obter
\frac{1}{y^{2}}\,dy = -\bigl(1+x-x^{2}\bigr)\,dx.
Agora os dy e dx estão separados: tudo que envolve y à esquerda e tudo que envolve x à direita — prontos para integrar.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Vou mostrar as integrais passo a passo.
Integral à esquerda:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = \int y^{-2}\,dy.
A primitiva de y^{-2} é -y^{-1}, porque \dfrac{d}{dy}(-y^{-1}) = y^{-2}. Logo
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy = -\frac{1}{y} + C_1.
Integral à direita:
\int -\bigl(1+x-x^{2}\bigr)\,dx = -\int \bigl(1+x-x^{2}\bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int 1\,dx = x,\qquad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Portanto
-\int \bigl(1+x-x^{2}\bigr)\,dx = -\left(x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right) + C_2.

Passo 5

Juntar as primitivas e organizar a constante de integração.
Da igualdade das duas integrais obtemos
-\frac{1}{y} + C_1 = -\left(x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right) + C_2.
Podemos agrupar as constantes: defina C = C_2 - C_1 (que é uma constante arbitrária). Assim
-\frac{1}{y} = -\left(x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right) + C.
Multiplicando por -1 em ambos os lados,
\frac{1}{y} = x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3} - C.
Renomeando -C por outra constante arbitrária (chame-a de C também, pois qualquer constante serve) é mais comum apresentar:
\frac{1}{y} = x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3} + C.
Portanto isolando y,
y(x) = \frac{1}{\,x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}+C\,},
onde C é a constante de integração real arbitrária que será ajustada por uma condição inicial se houver.
Explicando o que é cada coisa: y(x) é a função incógnita, x é a variável independente, e C\in\mathbb{R} é uma constante de integração que aparece por causa da indefinição da primitiva. Cada valor diferente de C produz uma solução diferente da família de soluções.

Passo 6

Verificar soluções singulares e discutir inclusive y\equiv 0.
  • Observe que na separação dividimos por y^{2}; isso exige cuidado com a solução y\equiv 0. Testando diretamente na equação original, se y(x)\equiv 0 então y' = 0 e o lado direito também é -0^{2}(1+x-x^{2}) = 0. Logo y\equiv 0 é solução (solução constante, chamada solução trivial ou equilíbrio).
  • A família y(x)=\dfrac{1}{x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}+C} não contém y\equiv 0 para nenhum valor finito de C. Portanto a solução trivial y\equiv 0 é uma solução separada (singular) e deve ser mencionada.

Passo 7

Como determinar a constante C a partir de uma condição inicial (exemplo concreto).
Se for dada uma condição y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0, plugue esses valores na expressão para obter C:
\frac{1}{y_{0}} = x_{0}+\frac{x_{0}^{2}}{2}-\frac{x_{0}^{3}}{3}+C,
portanto
C = \frac{1}{y_{0}} - \left(x_{0}+\frac{x_{0}^{2}}{2}-\frac{x_{0}^{3}}{3}\right).
Exemplo rápido: se y(0)=1 então \dfrac{1}{1} = 0+0-0 + C, logo C=1. A solução específica é
y(x)=\frac{1}{x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}+1}.

Passo 8

Discussão sobre domínio de validade da solução e comportamentos.
  • A solução explícita tem denominador D(x)=x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}+C. Onde D(x)=0 a solução racional explode (tem assíntota vertical) e, portanto, a solução só existe e é contínua em intervalos onde D(x)\neq 0.
  • Em termos práticos para uma condição inicial em x_0, a solução está garantida em um intervalo maximal que contém x_0 até a primeira raiz de D(x) (para a esquerda ou direita) onde o denominador zera.
  • A solução y\equiv 0 é global e definida para todo x.

Passo 9

Verificação rápida por diferenciação (checagem da solução encontrada).
Se y(x)=\dfrac{1}{D(x)} com D(x)=x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}+C, então
y'(x) = -\frac{D'(x)}{D(x)^{2}}.
Calcule D'(x)=1+x-x^{2}. Logo
y'(x) = -\frac{1+x-x^{2}}{\bigl(D(x)\bigr)^{2}}.
Como y(x)=1/D(x) temos y(x)^{2}=1/D(x)^{2}. Portanto
y'(x) = -y(x)^{2}\bigl(1+x-x^{2}\bigr),
que é exatamente a equação original. Assim a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}+C}, com C\in\mathbb{R} constante de integração.
y(x)\equiv 0 (solução trivial).

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