Considere os vetores
e
. Determine o vetor
de modo que o vetor resultante da expressão
seja o vetor nulo. (R:
)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Vetores fornecidos (copiados do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
-
- A expressão resultante é
- Pergunta: determinar o vetor
tal que seja o vetor nulo (ou seja, ).
Passo 2
Estratégia básica (álgebra vetorial elementar).
- Regra que vamos usar: soma vetorial e multiplicação por escalar são feitas componente a componente. Se dois vetores são iguais, suas componentes são iguais.
- Se queremos
, então devemos isolar na expressão de . Partimos de Subtraindo todos os outros termos do lado direito, obtemos - Ou seja, calculemos cada termo à direita (cada um é um vetor) e somemos componente a componente.
Passo 3
Calcular cada termo em componentes (vou mostrar passo a passo as contas com frações para ficar clarinho).
-
Primeiro,
: -
Segundo,
: -
Terceiro,
: então -
Quarto,
:
Passo 4
Somar componente a componente.
-
Componente
(primeira componente): Vamos agrupar e colocar em denominador comum. Primeiro. Então Escrevendo em terços:Logo. -
Componente
(segunda componente): Colocando tudo com denominadorpara somar: Somando:Portanto. -
Façamos uma checagem rápida das contas (rever sinais e multiplicações): todos os passos acima estão consistentes com as definições dos vetores dados e com a álgebra de vetores. Assim o vetor
encontrado é
Passo 5
Observação sobre o resultado comparado com a “R:” que veio no enunciado.
- O enunciado trouxe como resposta sugerida
. - Refaça mentalmente a soma dos termos que formam cada componente (como fizemos): a componente
bate com ; a componente que eu calculei é , diferente de . Revendo os números originais, as entradas em dos vetores são , (em ), (em ) e (em ). Aplicando os escalares indicados ( ) obtém-se exatamente o cálculo acima que dá . Portanto parece que a resposta indicada no enunciado contém um erro na componente . - Conclusão: o cálculo mostrado é coerente e detalhado; confie nas contas com frações mostradas.