Considere os vetores \vec{v}=\left(\frac{1}{2}, 0\right), \vec{w}=\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{5}\right), \vec{t}=\vec{\imath}+3 \vec{\jmath} e \vec{s}=\left(-2, \frac{1}{10}\right). Determine o vetor \vec{u} de modo que o vetor resultante da expressão \vec{R}=\vec{u}+\vec{v}-2 \vec{w}+\frac{4 \vec{t}}{3}-5 \vec{s} seja o vetor nulo. (R: \vec{u}=\left(-\frac{31}{3},-19 / 3\right) )

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Vetores fornecidos (copiados do enunciado):
    • \vec{v}=\left(\frac{1}{2},0\right).
    • \vec{w}=\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{5}\right).
    • \vec{t}=\vec{\imath}+3\vec{\jmath}=\left(1,3\right).
    • \vec{s}=\left(-2,\frac{1}{10}\right).
  • A expressão resultante é \vec{R}=\vec{u}+\vec{v}-2\vec{w}+\frac{4\vec{t}}{3}-5\vec{s}.
  • Pergunta: determinar o vetor \vec{u} tal que \vec{R} seja o vetor nulo (ou seja, \vec{R}=(0,0)).

Passo 2

Estratégia básica (álgebra vetorial elementar).
  • Regra que vamos usar: soma vetorial e multiplicação por escalar são feitas componente a componente. Se dois vetores são iguais, suas componentes são iguais.
  • Se queremos \vec{R}=(0,0), então devemos isolar \vec{u} na expressão de \vec{R}. Partimos de \vec{0}=\vec{R}=\vec{u}+\vec{v}-2\vec{w}+\frac{4\vec{t}}{3}-5\vec{s}.Subtraindo todos os outros termos do lado direito, obtemos \vec{u} = -\vec{v} + 2\vec{w} - \frac{4\vec{t}}{3} + 5\vec{s}.
  • Ou seja, calculemos cada termo à direita (cada um é um vetor) e somemos componente a componente.

Passo 3

Calcular cada termo em componentes (vou mostrar passo a passo as contas com frações para ficar clarinho).
  • Primeiro, -\vec{v}:
    -\vec{v} = -\left(\frac{1}{2},0\right)=\left(-\frac{1}{2},0\right).
  • Segundo, 2\vec{w}:
    2\vec{w}=2\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{5}\right)=\left(2\cdot\frac{3}{4},\,2\cdot\big(-\frac{1}{5}\big)\right)=\left(\frac{3}{2},-\frac{2}{5}\right).
  • Terceiro, -\dfrac{4\vec{t}}{3}:
    \frac{4\vec{t}}{3}=\frac{4}{3}(1,3)=\left(\frac{4}{3},4\right),
    então
    -\frac{4\vec{t}}{3}=\left(-\frac{4}{3},-4\right).
  • Quarto, 5\vec{s}:
    5\vec{s}=5\left(-2,\frac{1}{10}\right)=\left(-10,\frac{5}{10}\right)=\left(-10,\frac{1}{2}\right).

Passo 4

Somar componente a componente.
  • Componente x (primeira componente):
    x_u = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{4}{3} - 10.
    Vamos agrupar e colocar em denominador comum. Primeiro -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{2}{2}=1. Então
    x_u = 1 - \frac{4}{3} - 10 = (1-10)-\frac{4}{3} = -9 - \frac{4}{3}.
    Escrevendo em terços:
    -9 = -\frac{27}{3},\quad -\frac{27}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{31}{3}.
    Logo x_u=-\dfrac{31}{3}.
  • Componente y (segunda componente):
    y_u = 0 - \frac{2}{5} - 4 + \frac{1}{2}.
    Colocando tudo com denominador 10 para somar:
    -\frac{2}{5} = -\frac{4}{10},\quad -4=-\frac{40}{10},\quad \frac{1}{2}=\frac{5}{10}.
    Somando:
    y_u = -\frac{4}{10} - \frac{40}{10} + \frac{5}{10} = -\frac{39}{10}.
    Portanto y_u=-\dfrac{39}{10}.
  • Façamos uma checagem rápida das contas (rever sinais e multiplicações): todos os passos acima estão consistentes com as definições dos vetores dados e com a álgebra de vetores. Assim o vetor \vec{u} encontrado é
    \vec{u}=\left(-\frac{31}{3},-\frac{39}{10}\right).

Passo 5

Observação sobre o resultado comparado com a “R:” que veio no enunciado.
  • O enunciado trouxe como resposta sugerida \vec{u}=\left(-\frac{31}{3},-\frac{19}{3}\right).
  • Refaça mentalmente a soma dos termos que formam cada componente (como fizemos): a componente x bate com -\dfrac{31}{3}; a componente y que eu calculei é -\dfrac{39}{10}, diferente de -\dfrac{19}{3}. Revendo os números originais, as entradas em y dos vetores são 0, -\tfrac{1}{5} (em \vec{w}), 3 (em \vec{t}) e \tfrac{1}{10} (em \vec{s}). Aplicando os escalares indicados ( -,2,-\tfrac{4}{3},5) obtém-se exatamente o cálculo acima que dá -\tfrac{39}{10}. Portanto parece que a resposta indicada no enunciado contém um erro na componente y.
  • Conclusão: o cálculo mostrado é coerente e detalhado; confie nas contas com frações mostradas.

Resposta

\vec{u}=\left(-\frac{31}{3},-\frac{39}{10}\right)

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