y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{t};
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro passo clássico: resolver a equação homogênea associada (ou seja, a mesma equação com o lado direito igual a zero). Escrevo a homogênea e introduzo a técnica-padrão (tentativa de solução exponencial):
A técnica: tentar soluções do tipo
. Substituindo nessa forma gera o polinômio característico em
:
Esse polinômio vem de substituir
e dividir por
(que nunca é zero), então as potências de
aparecem como coefficients.
Passo 3
Resolver o polinômio característico:
logo as raízes são
e
, ambas reais e distintas. Para raízes distintas a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais depois.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
.
Explicando o método de coeficientes indeterminados (passo-a-passo didático):
Explicando o método de coeficientes indeterminados (passo-a-passo didático):
- Quando o termo não-homogêneo tem a forma
(aqui é polinômio e constante), tenta-se um ansatz (suposição) do tipo , onde é polinômio do mesmo grau que e é o multiplicador em que corrige a ressonância. - Ressonância: se
é raiz do polinômio característico de multiplicidade , então toma-se . Isso porque já pertence às soluções homogêneas e é preciso multiplicar por potências de até obter uma função linearmente independente das soluções homogêneas.
No nosso caso: - O termo de forçamento é
, que é com (polinômio constante) e . - Verificamos que
é raiz do polinômio característico (vimos antes) e sua multiplicidade é .
Portanto devemos multiplicar o ansatz padrãopor com . Assim escolhemos:
onde
é constante indeterminada a encontrar.
Passo 5
Calcular as derivadas de
com cuidado (usar regra do produto). Primeiro:
Derivando:
Derivando novamente:
Aqui cada passo usou a regra do produto:
. Todas as manipulações são apenas multiplicações e somas de exponenciais e polinômios.
Passo 6
Substituir
na equação diferencial para determinar
. A equação pede:
Substituindo as expressões obtidas:
Fatorando
:
Agora simplificar o colchete:
Portanto a expressão inteira fica
Igualando ao lado direito
obtemos
Passo 7
Assim a solução particular é
A solução geral da equação (soma da homogênea com a particular) é
Aqui
e
ainda serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Calcular
da solução geral para aplicar a condição inicial
. Derivo termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Já calculamos a derivada de
antes (com ): é .
Portanto
Passo 9
Aplicar as condições iniciais em
Segundo
:
Agora resolvo o sistema linear:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
E então (C_{1}=1-C_{2}=1-5=-4].]