y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{t};
\begin{aligned} & y(0)=1 \\ & y^{\prime}(0)=2 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e condições iniciais. Vou listar claramente o que é dado e o que é pedido:
  • Equação diferencial: y'' - 3y' + 2y = 4 e^{t}
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro passo clássico: resolver a equação homogênea associada (ou seja, a mesma equação com o lado direito igual a zero). Escrevo a homogênea e introduzo a técnica-padrão (tentativa de solução exponencial):
y'' - 3y' + 2y = 0.
A técnica: tentar soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo nessa forma gera o polinômio característico em r:
r^{2} - 3r + 2 = 0.
Esse polinômio vem de substituir y=e^{rt} e dividir por e^{rt} (que nunca é zero), então as potências de r aparecem como coefficients.

Passo 3

Resolver o polinômio característico:
r^{2} - 3r + 2 = (r-1)(r-2)=0,
logo as raízes são r=1 e r=2, ambas reais e distintas. Para raízes distintas a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(t)=C_{1} e^{t} + C_{2} e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais depois.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa \,y''-3y'+2y=4e^{t}\,.
Explicando o método de coeficientes indeterminados (passo-a-passo didático):
  • Quando o termo não-homogêneo tem a forma P(t)e^{\alpha t} (aqui P(t) é polinômio e \alpha constante), tenta-se um ansatz (suposição) do tipo t^{m}Q(t)e^{\alpha t}, onde Q(t) é polinômio do mesmo grau que P e m é o multiplicador em t que corrige a ressonância.
  • Ressonância: se \alpha é raiz do polinômio característico de multiplicidade k, então toma-se m=k. Isso porque e^{\alpha t} já pertence às soluções homogêneas e é preciso multiplicar por potências de t até obter uma função linearmente independente das soluções homogêneas.
    No nosso caso:
  • O termo de forçamento é 4 e^{t}, que é P(t)e^{\alpha t} com P(t)=4 (polinômio constante) e \alpha=1.
  • Verificamos que \alpha=1 é raiz do polinômio característico (vimos r=1 antes) e sua multiplicidade é 1.
    Portanto devemos multiplicar o ansatz padrão A e^{t} por t^{m} com m=1. Assim escolhemos:
y_{p}(t)=A t e^{t},
onde A é constante indeterminada a encontrar.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p} com cuidado (usar regra do produto). Primeiro:
y_{p}(t)=A t e^{t}.
Derivando:
y_{p}'(t)=A\frac{d}{dt}\big(t e^{t}\big)=A\big(e^{t}t + e^{t}\big)=A e^{t}(t+1).
Derivando novamente:
y_{p}''(t)=A\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t+1)\big)=A\big(e^{t}(t+1) + e^{t}\big)=A e^{t}(t+2).
Aqui cada passo usou a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Todas as manipulações são apenas multiplicações e somas de exponenciais e polinômios.

Passo 6

Substituir y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial para determinar A. A equação pede:
y_{p}'' - 3y_{p}' + 2y_{p} \stackrel{!}{=} 4 e^{t}.
Substituindo as expressões obtidas:
A e^{t}(t+2) - 3\big(A e^{t}(t+1)\big) + 2\big(A t e^{t}\big).
Fatorando A e^{t}:
A e^{t}\big[(t+2)-3(t+1)+2t\big].
Agora simplificar o colchete:
(t+2)-3(t+1)+2t = t+2 -3t -3 +2t = (t-3t+2t) + (2-3) = 0\cdot t -1 = -1.
Portanto a expressão inteira fica
A e^{t}(-1) = -A e^{t}.
Igualando ao lado direito 4 e^{t} obtemos
- A e^{t} = 4 e^{t} \quad\Rightarrow\quad -A = 4 \quad\Rightarrow\quad A = -4.

Passo 7

Assim a solução particular é
y_{p}(t) = -4 t e^{t}.
A solução geral da equação (soma da homogênea com a particular) é
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = C_{1} e^{t} + C_{2} e^{2t} - 4 t e^{t}.
Aqui C_{1} e C_{2} ainda serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Calcular y'(t) da solução geral para aplicar a condição inicial y'(0)=2. Derivo termo a termo:
  • Derivada de C_{1} e^{t} é C_{1} e^{t}.
  • Derivada de C_{2} e^{2t} é 2 C_{2} e^{2t}.
  • Já calculamos a derivada de -4 t e^{t} antes (com A=-4): é -4 e^{t}(t+1).
    Portanto
y'(t) = C_{1} e^{t} + 2 C_{2} e^{2t} -4 e^{t}(t+1).

Passo 9

Aplicar as condições iniciais em t=0\). Primeiro \(y(0)=1\): \[y(0) = C_{1} e^{0} + C_{2} e^{0} -4\cdot 0 \cdot e^{0} = C_{1} + C_{2} = 1.
Segundo y'(0)=2:
y'(0) = C_{1} e^{0} + 2 C_{2} e^{0} -4 e^{0}(0+1) = C_{1} + 2 C_{2} -4 = 2.
Agora resolvo o sistema linear:
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 1,\\[4pt] C_{1} + 2 C_{2} = 6 \quad\text{(pois isolando: }C_{1}+2C_{2}=2+4=6\text{).} \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}+2C_{2})-(C_{1}+C_{2}) = 6-1 \quad\Rightarrow\quad C_{2} = 5.
E então (C_{1}=1-C_{2}=1-5=-4].]

Resposta

y(t) = -4 e^{t} + 5 e^{2t} - 4 t e^{t}

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