• Questão 1 (2 pontos). Encontre a solução do PVI a seguir: \left\{\begin{array}{l}\cos ^{2}(x) y^{\prime}+3 y=1 \\\ y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{3} .\end{array}\right.

Passo 1

O problema é um PVI que envolve uma equação diferencial linear de primeira ordem. Temos
\cos^{2}(x)\,y' + 3y = 1,
com condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{4}{3}.
Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é padrão para EDOs lineares da forma
y' + p(x)\,y = q(x).

Passo 2

Dividimos a equação original por \cos^{2}(x) (supondo \cos(x)\neq0) para escrevê-la na forma padrão:
y' + \frac{3}{\cos^{2}(x)}\,y = \frac{1}{\cos^{2}(x)}.
Aqui p(x)=3\operatorname{sec}^{2}(x) e q(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 3\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx\Bigr) = \exp\bigl(3\tan(x)\bigr) = e^{3\tan(x)}.

Passo 4

Multiplicando a equação padronizada por \mu(x), o lado esquerdo vira derivada do produto:
\frac{d}{dx}\Bigl(y\,e^{3\tan(x)}\Bigr) = e^{3\tan(x)}\cdot\operatorname{sec}^{2}(x).
Integramos ambos os lados:
y\,e^{3\tan(x)} = \int e^{3\tan(x)}\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx + C = \frac{1}{3}\,e^{3\tan(x)} + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(x) = \frac{1}{3} + C\,e^{-3\tan(x)}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{4}{3}. Como \tan(\tfrac{\pi}{4})=1,
\frac{1}{3} + C\,e^{-3} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad C = e^{3}.
Logo
y(x) = \frac{1}{3} + e^{3}\,e^{-3\tan(x)} = \frac{1}{3} + e^{3(1-\tan(x))}.

Resposta

y(x) = \frac{1}{3} + e^{3(1-\tan(x))}.

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