(Cálculo de Área e Integral Definida) Considere a função f(x)= 2 x-5. Calcule a área sob a curva f(x) no intervalo [1,4], usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
A integral é:
integral1^4(2 x-5) d x=[x^2-5 x]1^4=(16-20)-(1-5)=-4+4=0

Passo 1

A questão pede a área sob a curva da função f(x)=2x-5 no intervalo [1,4], usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e levando em conta que parte da curva fica abaixo do eixo x. Vamos precisar do antiderivado de f(x) e identificar onde f(x) muda de sinal para separar as integrais.

Passo 2

Primeiro, encontramos o antiderivado de f(x)=2x-5. Sabendo que a integral de 2x é x^2 e a de -5 é (-5x), temos o antiderivado
F(x)=x^2-5x

Passo 3

Calculamos a integral definida sem considerar o sinal (área orientada) de 1 a 4 pelo TFC:
integral1^4(2x-5),dx=F(4)-F(1)=(16-20)-(1-5)=-4+4=0
Ou seja, a área orientada é zero, pois as regiões acima e abaixo do eixo x se cancelam.

Passo 4

Agora identificamos onde f(x) corta o eixo x. Resolvendo 2x-5=0 obtemos x=tfrac52=2,5. Assim, no intervalo [1,2,5] a curva está abaixo do eixo ( f(x)<0 ) e em [2,5,4] está acima ( f(x)>0 ).

Passo 5

Para calcular a área real (sempre positiva), separamos em duas integrais absolutas:
Área= integral1^2.5l|2x-5r|,dx+integral2.5^4l|2x-5r|,dx Á
No primeiro trecho f(x)<0, então |2x-5|=5-2x; no segundo f(x)>0, então |2x-5|=2x-5.

Passo 6

Calculamos cada parte:
integral1^2.5(5-2x),dx=l[5x-x^2r]1^2.5=(12.5-6.25)-(5-1)=6.25-4=2.25,
integral2.5^4(2x-5),dx=l[x^2-5xr]2.5^4=(-4)-(-6.25)=2.25
Somando as áreas:
2.25+2.25=4.5

Resposta

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