(Cálculo de Área e Integral Definida) Considere a função . Calcule a área sob a curva no intervalo , usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo.
A integral é:
Passo 1
A questão pede a área sob a curva da função no intervalo , usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e levando em conta que parte da curva fica abaixo do eixo . Vamos precisar do antiderivado de e identificar onde muda de sinal para separar as integrais.
Passo 2
Primeiro, encontramos o antiderivado de . Sabendo que a integral de é e a de é (-5x), temos o antiderivado
Passo 3
Calculamos a integral definida sem considerar o sinal (área orientada) de 1 a 4 pelo TFC:
Ou seja, a área orientada é zero, pois as regiões acima e abaixo do eixo se cancelam.
Passo 4
Agora identificamos onde corta o eixo . Resolvendo obtemos . Assim, no intervalo a curva está abaixo do eixo ( ) e em está acima ( ).
Passo 5
Para calcular a área real (sempre positiva), separamos em duas integrais absolutas:
No primeiro trecho f(x)<0, então |2x-5|=5-2x; no segundo f(x)>0, então |2x-5|=2x-5.