(ii) Mostre que, se f é 2 -periódica e f(t)= 1, & se 0 então L[f(t)]=1s tgh s2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função 2-periódica definida por f(t)=1 para 0<t<1 e f(t)=–1 para 1<t<2 e queremos calcular sua transformada de Laplace. O conteúdo principal é a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.

Passo 2

A teoria diz que, se f é T-periódica, então sua transformada de Laplace é dada por:
Lf(s)=11-e^-sTintegral0^Tf(t)e^-st,dt
Aqui T=2.

Passo 3

Precisamos então calcular o integral de um período:
integral0^2f(t)e^-st,dt=integral0^11cdot e^-st,dt+integral1^2(-1)e^-st,dt
Cada um:
integral0^1e^-st,dt=1-e^-ss,integral1^2e^-st,dt=e^-s-e^-2ss
Daí
$$
\int_{0}{2}f(t)e{-st},dt=\frac{1-e{-s}}{s}-\frac{e{-s}-e{-2s}}{s}=\frac{(1-e{-s})^2}{s}.
$$

Passo 4

Substituindo na fórmula periódica:
Lf(s)=11-e^-2scdot(1-e^-s)^2s
Agora simplificamos usando 1−e{-2s}=(1−e{-s})(1+e^{-s}):
Lf(s)=1-e^-ss(1+e^-s)

Passo 5

Para chegar em tanh(s/2) lembramos que
tanhs2=e^s/2-e^-s/2e^s/2+e^-s/2=1-e^-s1+e^-s
Portanto
Lf(s)=1stanhs2

Resposta

1stanhs2

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