(ii) Mostre que, se f é 2 -periódica e
então
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função 2-periódica definida por f(t)=1 para 0<t<1 e f(t)=–1 para 1<t<2 e queremos calcular sua transformada de Laplace. O conteúdo principal é a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas.
Passo 2
A teoria diz que, se f é T-periódica, então sua transformada de Laplace é dada por:
Aqui T=2.
Passo 3
Precisamos então calcular o integral de um período:
Cada um:
Daí
$$
\int_{0}{2}f(t)e{-st},dt=\frac{1-e{-s}}{s}-\frac{e{-s}-e{-2s}}{s}=\frac{(1-e{-s})^2}{s}.
$$
Passo 4
Substituindo na fórmula periódica:
Agora simplificamos usando 1−e{-2s}=(1−e{-s})(1+e^{-s}):
Passo 5
Para chegar em tanh(s/2) lembramos que
Portanto