y^{\prime \prime}+y=x, \quad y(0)=0, \quad y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede a resolução do problema de contorno
y'' + y = x,\quad y(0)=0,\quad y(\pi)=0.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não homogênea com condições de contorno em pontos. Vamos precisar achar a solução geral da equação (solução homogênea + particular) e impor as condições de contorno.

Passo 2

A parte homogênea é
y_h'' + y_h = 0,
cuja equação característica é r^2+1=0, com raízes r=\pm i. Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C\cos x + D\sin x.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p de
y'' + y = x,
fazemos o palpite polinomial de grau 1:
y_p(x) = A\,x + B.
Então y_p''=0 e a equação fica
0 + (A\,x+B) = x \;\Longrightarrow\; A\,x+B = x.
Comparando coeficientes, A=1 e B=0. Logo
y_p(x) = x.

Passo 4

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C\cos x + D\sin x + x.

Passo 5

Impondo y(0)=0:
y(0)=C\cdot1 + D\cdot0 + 0 = C = 0.
Impondo y(\pi)=0:
y(\pi)=0\cdot\cos\pi + D\sin\pi + \pi = 0 + 0 + \pi = \pi \neq 0.
Há uma contradição: não é possível satisfazer simultaneamente as duas condições de contorno.

Resposta

O problema de contorno não admite solução, pois as condições em x=0 e x=\pi tornam-se incompatíveis.

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