Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
x d x+(y-2 x) d y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,dx + (y - 2x)\,dy = 0
usando uma substituição apropriada. O conteúdo da matéria é equações de variáveis separáveis e homogêneas. Vamos usar a substituição y = v x, de modo que v seja função de x e transforme a equação em uma equação separável.
Passo 2
Fazendo y = v x, obtemos
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em
x + (y - 2x)\,\frac{dy}{dx} = 0
(escrevendo a equação original em forma de derivada),
temos
x + (v x - 2x)\bigl(v + x\,\tfrac{dv}{dx}\bigr) = 0.
Ou seja,
v x - 2x = x(v - 2),
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x + x(v - 2)\,v + x(v - 2)\,x\,\tfrac{dv}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v + x\,\tfrac{dv}{dx} = -\frac{1}{v - 2}.