Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
x d x+(y-2 x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,dx + (y - 2x)\,dy = 0
usando uma substituição apropriada. O conteúdo da matéria é equações de variáveis separáveis e homogêneas. Vamos usar a substituição y = v x, de modo que v seja função de x e transforme a equação em uma equação separável.

Passo 2

Fazendo y = v x, obtemos
dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em
x + (y - 2x)\,\frac{dy}{dx} = 0
(escrevendo a equação original em forma de derivada),
temos
x + (v x - 2x)\bigl(v + x\,\tfrac{dv}{dx}\bigr) = 0.
Ou seja,
v x - 2x = x(v - 2),
logo
x + x(v - 2)\,v + x(v - 2)\,x\,\tfrac{dv}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v + x\,\tfrac{dv}{dx} = -\frac{1}{v - 2}.

Passo 3

Isolamos x\,dv/dx:
x\,\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{v - 2} - v = -\frac{1 + v(v - 2)}{v - 2} = -\frac{(v - 1)^2}{v - 2}.
Isso é separável:
\frac{v - 2}{(v - 1)^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Note que
\frac{v - 2}{(v - 1)^2} = \frac{v - 1 -1}{(v - 1)^2} = \frac{1}{v - 1} - \frac{1}{(v - 1)^2}.
Logo,
\int\Bigl(\frac{1}{v - 1} - \frac{1}{(v - 1)^2}\Bigr)\,dv = \ln\lvert v - 1\rvert + \frac{1}{v - 1}
e
\int -\frac{dx}{x} = -\ln\lvert x\rvert + C.
Portanto
\ln\lvert v - 1\rvert + \frac{1}{v - 1} = -\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos v = \frac{y}{x}, logo
v - 1 = \frac{y}{x} - 1 = \frac{y - x}{x}.
Substituindo em
\ln\lvert v - 1\rvert + \frac{1}{v - 1} = -\ln\lvert x\rvert + C
obtém-se
\ln\Bigl\lvert\frac{y - x}{x}\Bigr\rvert + \frac{x}{y - x} = -\ln\lvert x\rvert + C.
Como \ln\lvert(y - x)/x\rvert = \ln\lvert y - x\rvert - \ln\lvert x\rvert, simplifica para
\ln\lvert y - x\rvert + \frac{x}{y - x} = C'.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
\boxed{\ln\lvert y - x\rvert + \frac{x}{y - x} = C.}

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