Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no primeiro exercício. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau não homogênea: $ y’’ - 4y = 2 $. Além disso, já sabemos que uma solução dessa equação é $ y_1 = e^{-2x} $. Vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação usando métodos de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é $ y’’ - 4y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução do tipo $ y = e^{rx} $. Derivando, temos $ y’ = r e^{rx} $ e $ y’’ = r^2 e^{rx} $. Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por $ e^{rx} $ (que nunca é zero):
Passo 3
Resolvendo a equação característica $ r^2 - 4 = 0 $, temos:
Então, as soluções da equação homogênea são $ y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} $, onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, como a equação original é não homogênea ($ y’’ - 4y = 2 $), precisamos encontrar uma solução particular $ y_p $. A gente já tem uma solução da homogênea, $ y_1 = e^{-2x} $, então vamos tentar assumir uma solução particular constante, pois o lado direito da equação é uma constante.
Vamos assumir $ y_p = A $, onde $ A $ é uma constante a ser determinada.
Passo 5
Substituindo $ y_p = A $ na equação original:
Então, a solução particular é $ y_p = -\frac{1}{2} $.
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular:
Passo 7
Vamos para o segundo exercício. A equação diferencial é $ x^{2} y’’ - 3x y’ + 4y = 0 $ e já sabemos que uma solução é $ y_1(x) = x^{2} $. Esse é um caso de equação diferencial de Euler-Cauchy. Vamos precisar utilizar o método de redução de ordem para encontrar a solução geral.
Passo 8
Primeiro, reconhecemos que a equação é homogênea e de coeficientes variáveis, do tipo:
onde $ a = -3 $ e $ b = 4 $. Sabendo que $ y_1 = x^{2} $ é uma solução, vamos procurar uma segunda solução da forma $ y_2 = y_1 \cdot v(x) = x^{2} v(x) $.
Passo 9
Vamos calcular as derivadas de $ y_2 $:
Passo 10
Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação original:
Simplificando:
Passo 11
Dividindo toda a equação por $ x^{3} $ (assumindo $ x \neq 0 $):
Rearranjando:
Passo 12
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ v’ $. Vamos chamar $ u = v’ $, então:
Essa é uma equação linear que pode ser resolvida usando fator integrante.
Passo 13
Calculando o fator integrante $ \mu(x) $:
Multiplicando a equação por $ \mu(x) $:
Integrando:
Passo 14
Lembrando que $ u = v’ $:
Integrando novamente:
Passo 15
Voltando à solução $ y_2 = x^{2} v $:
Como $ y_1 = x^{2} $ já é uma solução, descartamos o termo $ D x^{2} $ para evitar redundância. Assim, a segunda solução independente é $ y_2 = x^{2} \ln x $.
Passo 16
Portanto, a solução geral da equação é:
Passo 17
Agora, vamos para o terceiro exercício. A equação é $ xy’’ + (1 - 2x) y’ + (x - 1)y = 0 $ com $ x > 0 $ e uma solução conhecida $ y_1 = e^{x} $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução.
Passo 18
Sabemos que $ y_1 = e^{x} $ é uma solução. Vamos procurar uma segunda solução na forma $ y_2 = y_1 \cdot v(x) = e^{x} v(x) $.
Passo 19
Calculando as derivadas de $ y_2 $:
Passo 20
Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação original:
Factorizando $ e^{x} $:
Como $ e^{x} \neq 0 $, podemos simplificar:
Passo 21
Distribuindo os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 22
A equação resultante é:
Vamos resolver essa equação para $ v $.
Passo 23
Primeira, chamamos $ u = v’ $, então:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ u $. Vamos encontrar o fator integrante.
Passo 24
Calculando o fator integrante $ \mu(x) $:
Multiplicando a equação por $ \mu(x) $:
Integrando:
Passo 25
Lembrando que $ u = v’ $:
Integrando novamente:
Passo 26
Voltando à solução $ y_2 = e^{x} v $:
Como $ y_1 = e^{x} $ já é uma solução, descartamos o termo $ D e^{x} $ para evitar redundância. Assim, a segunda solução independente é $ y_2 = e^{x} \ln x $.
Passo 27
A solução geral da equação é:
Passo 28
Por último, vamos ao quarto exercício. A equação diferencial é $ x^{2} y’’ - 2x y’ - 4y = 0 $ com uma solução conhecida $ y_1(x) = x^{-1} $. Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução.
Passo 29
Sabemos que $ y_1 = x^{-1} $ é uma solução. Vamos procurar uma segunda solução da forma $ y_2 = y_1 \cdot v(x) = x^{-1} v(x) $.
Passo 30
Calculando as derivadas de $ y_2 $:
Passo 31
Substituindo $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
Juntando tudo:
Passo 32
Somando os termos semelhantes:
Logo:
Passo 33
Vamos resolver essa equação para $ v $.
Podemos reescrever como:
Passo 34
Primeiro, fazemos uma substituição: seja $ u = v’ $, então $ u’ = v’’ $. A equação fica:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para $ u $.
Passo 35
Para resolver, encontramos o fator integrante $ \mu(x) $:
Multiplicando a equação por $ \mu(x) $:
Integrando:
Passo 36
Lembrando que $ u = v’ $:
Integrando novamente:
Passo 37
Voltando à solução $ y_2 = x^{-1} v $:
Como $ y_1 = x^{-1} $ já é uma solução, descartamos o termo $ D x^{-1} $ para evitar redundância. Assim, a segunda solução independente é $ y_2 = x^{4} $.
Passo 38
Portanto, a solução geral da equação é:
Resposta
A solução geral da equação $ x^{2} y’’ - 2x y’ - 4y = 0 $ é: