Um número real
é racional quando existem inteiros
e
, com
, tais que
. Mostre que a soma de dois números racionais é um número racional.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer. A questão fala sobre números racionais, que são aqueles que podem ser expressos como uma fração
, onde
e
são inteiros e
não é zero. O objetivo aqui é mostrar que, se você somar dois números racionais, o resultado também vai ser um número racional. Para resolver isso, vamos usar a definição de número racional e fazer umas contas básicas de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar dois números racionais. Vamos chamar eles de
e
. Como ambos são racionais, podemos escrevê-los assim:
Aqui,
,
,
, e
são inteiros e
,
.
Passo 3
Agora, vamos somar
e
. A soma de duas frações requer que a gente encontre um denominador comum. Geralmente, usamos o produto dos denominadores para facilitar:
Então, a soma fica:
Passo 4
Vamos analisar o resultado. No numerador, temos
, que é a soma de dois produtos de inteiros, logo, também é um inteiro. No denominador, temos
, que é o produto de dois inteiros não nulos, então também é um inteiro diferente de zero.
Passo 5
Conforme a definição, um número é racional se pode ser expresso como uma fração
, com
e
inteiros e
. No nosso caso, a soma
está exatamente nessa forma:
Onde
é um inteiro e
.
Resposta
Portanto, mostramos que a soma de dois números racionais é, de fato, um número racional.