Um número real n é racional quando existem inteiros p e q, com q neq 0, tais que n=pq. Mostre que a soma de dois números racionais é um número racional.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer. A questão fala sobre números racionais, que são aqueles que podem ser expressos como uma fração pq, onde p e q são inteiros e q não é zero. O objetivo aqui é mostrar que, se você somar dois números racionais, o resultado também vai ser um número racional. Para resolver isso, vamos usar a definição de número racional e fazer umas contas básicas de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar dois números racionais. Vamos chamar eles de a e b. Como ambos são racionais, podemos escrevê-los assim:
a = pq e b = rs
Aqui, p, q, r, e s são inteiros e q neq 0, s neq 0.

Passo 3

Agora, vamos somar a e b. A soma de duas frações requer que a gente encontre um denominador comum. Geralmente, usamos o produto dos denominadores para facilitar:
a + b = pq + rs = p cdot sq cdot s + r cdot qs cdot q = p cdot s + r cdot qq cdot s
Então, a soma fica:
a + b = p cdot s + r cdot qq cdot s

Passo 4

Vamos analisar o resultado. No numerador, temos p cdot s + r cdot q, que é a soma de dois produtos de inteiros, logo, também é um inteiro. No denominador, temos q cdot s, que é o produto de dois inteiros não nulos, então também é um inteiro diferente de zero.

Passo 5

Conforme a definição, um número é racional se pode ser expresso como uma fração PQ, com P e Q inteiros e Q neq 0. No nosso caso, a soma a + b está exatamente nessa forma:
a + b = p cdot s + r cdot qq cdot s
Onde p cdot s + r cdot q é um inteiro e q cdot s neq 0.

Resposta

Portanto, mostramos que a soma de dois números racionais é, de fato, um número racional.

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